E (数学常数)

第一次提到常數${\displaystyle e}$ ，是約翰·納皮爾於1618年出版的對數著作附錄中的一張表。但它沒有記錄這常數，只有由它為底計算出的一張自然對數列表，通常認為是由威廉·奧特雷德製作。第一次把${\displaystyle e}$ 看為常數的是雅各布·伯努利，他嘗試計算下式的值：

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{n}}$

上式代表把1與無窮小相加，再自乘無窮多次。

已知的第一次用到常數${\displaystyle e}$ ，是萊布尼茨於1690年和1691年給惠更斯的通信，以${\displaystyle b}$ 表示。1727年歐拉開始用${\displaystyle e}$ 來表示這常數；而${\displaystyle e}$ 第一次在出版物用到，是1736年歐拉的《力學》（Mechanica）。雖然往後年日有研究者用字母${\displaystyle c}$ 表示，但${\displaystyle e}$ 較常用，終於成為標準。

用${\displaystyle e}$ 表示的原因確實不明，但可能因為${\displaystyle e}$ 是指數函數（exponential）一字的首字母。另一看法則稱${\displaystyle a,b,c,d}$ 有其他經常用途，而${\displaystyle e}$ 是第一個可用字母。

就像圓周率${\displaystyle \pi }$ 和虛數單位i，${\displaystyle e}$ 是數學中最重要的常數之一。它有幾種等價定義，下面列出一部分。

1. 定義${\displaystyle e}$ 爲下列極限值：

   ${\displaystyle e=\lim _{n\to \infty }\left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{n}}$

   ${\displaystyle e=\lim _{t\to 0}(1+t)^{\frac {1}{t}}}$

2. 定義${\displaystyle e}$ 爲階乘倒數之無窮級數的和^[5]：

   ${\displaystyle e=\sum _{n=0}^{\infty }{1 \over n!}={1 \over 0!}+{1 \over 1!}+{1 \over 2!}+{1 \over 3!}+{1 \over 4!}+\cdots }$

   其中${\displaystyle n!}$ 代表${\displaystyle n}$ 的階乘。

3. 定義${\displaystyle e}$ 爲唯一的正數${\displaystyle x}$ 使得

   ${\displaystyle \int _{1}^{x}{\frac {\mathrm {d} t}{t}}=1}$

4. 定義${\displaystyle e}$ 爲唯一的實數${\displaystyle x}$ 使得

   ${\displaystyle \lim _{h\to 0}{\frac {x^{h}-1}{h}}=1}$

這些定義可證明是等價的，请参见文章指数函数的特征描述（英语：Characterizations of the exponential function）。

很多增長或衰減過程都可以用指數函數模擬。指數函數${\displaystyle e^{x}}$ 的重要性在於，唯独该函數（或其常數倍，即${\displaystyle x\mapsto ke^{x}}$ ，其中${\displaystyle k}$ 為任意常數）與自身導數相等。即：

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}e^{x}=e^{x}}$ 。

${\displaystyle e^{x}}$ 的泰勒級數為${\displaystyle e^{x}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{n}}{n!}}\quad \forall x}$

${\displaystyle =1+x+{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{3}}{3!}}+...}$

${\displaystyle x}$ 為複數時依然成立，因此根據${\displaystyle \sin x}$ 及${\displaystyle \cos x}$ 的泰勒級數，得出在數學中一條稱為歐拉公式的重要等式：

${\displaystyle e^{\mathrm {i} x}=\cos x+{\rm {i}}\sin x}$

當${\displaystyle x=\pi }$ 的特例是歐拉恆等式：

${\displaystyle e^{\mathrm {i} \pi }+1=0}$

此式被理查德·費曼稱為「歐拉的寶石」。

${\displaystyle (\cos x+i\sin x)^{n}=\left(e^{ix}\right)^{n}=e^{inx}=\cos(nx)+i\sin(nx)}$

即棣莫弗公式。

• ${\displaystyle e}$ 是無理數和超越數（見林德曼－魏尔斯特拉斯定理）。這是第一個獲證為超越數的数，而非故意構造的（比較劉維爾數）；由夏爾·埃爾米特（Charles Hermite）於1873年證明。有猜想它為正規數。
• 当${\displaystyle x=e}$ 时函數${\displaystyle f(x)={\sqrt[{x}]{x}}}$ 有最大值。
• ${\displaystyle e}$ 的無窮連分數展開式有個有趣的模式，可以表示如下（  A003417）

${\displaystyle e=[2;1,2,1,1,4,1,1,6,1,1,8,1,1,10,1,1,12,\ldots ]}$

就像以下的展開式：

${\displaystyle e=2+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{\mathbf {2} +{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{\mathbf {4} +{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{\mathbf {6} +{\cfrac {1}{1+\ddots }}}}}}}}}}}}}}}}}}}$

反證法编辑

證明${\displaystyle e}$ 是無理數可以用反證法。假設${\displaystyle e}$ 是有理數，則可以表示成${\displaystyle {\frac {a}{b}}}$  ，其中${\displaystyle a,b}$ 為正整數。以${\displaystyle e}$ 的無窮級數展開式可以得出矛盾。

考慮數字

${\displaystyle x=b!\left(e-\sum _{i=0}^{b}{1 \over i!}\right)}$ ，

以下將推導出${\displaystyle x}$ 是小於1的正整數；由於不存在這樣的正整數，得出矛盾，所以得證${\displaystyle e}$ 是無理數。

• ${\displaystyle x}$ 是整數，因為

  ${\displaystyle 0<x=b!\left(e-\sum _{i=0}^{b}{1 \over i!}\right)=b!\left({a \over b}-\sum _{i=0}^{b}{1 \over i!}\right)}$

  ${\displaystyle =a(b-1)!-\sum _{i=0}^{b}{b! \over i!}}$

  ${\displaystyle =a(b-1)!-\left[1+\sum _{n=0}^{b-1}b(b-1)\cdots (n+1)\right]}$ 。

• ${\displaystyle x}$ 是小於1的正數，因為

  ${\displaystyle 0<x=b!\sum _{n=b+1}^{\infty }{1 \over n!}}$

  ${\displaystyle ={\frac {1}{b+1}}+{\frac {1}{(b+1)(b+2)}}+{\frac {1}{(b+1)(b+2)(b+3)}}+\cdots }$

  ${\displaystyle <{\frac {1}{b+1}}+{\frac {1}{(b+1)^{2}}}+{\frac {1}{(b+1)^{3}}}+\cdots ={1 \over b}\leq 1}$ 。

但是0與1之間（不含0與1）不存在有整數，故原先假設矛盾，得出${\displaystyle e}$ 為無理數。

二項式定理编辑

視${\displaystyle n}$ 為存在的數值，所以用二項式定理可證出：

${\displaystyle e=\lim _{n\to \infty }\left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{n}}$

${\displaystyle =\lim _{n\to \infty }\sum _{i=0}^{n}C_{i}^{n}1^{n-i}\left({\frac {1}{n}}\right)^{i}}$

${\displaystyle =\lim _{n\to \infty }\left[C_{0}^{n}1^{n}\left({\frac {1}{n}}\right)^{0}+C_{1}^{n}1^{n-1}\left({\frac {1}{n}}\right)^{1}+C_{2}^{n}1^{n-2}\left({\frac {1}{n}}\right)^{2}+C_{3}^{n}1^{n-3}\left({\frac {1}{n}}\right)^{3}+...+C_{n}^{n}1^{0}\left({\frac {1}{n}}\right)^{n}\right]}$

${\displaystyle =\lim _{n\to \infty }\left[1\times 1+n\times {\frac {1}{n}}+{\frac {n!}{\left(n-2\right)!2!}}\times {\frac {1}{n^{2}}}+{\frac {n!}{\left(n-3\right)!3!}}\times {\frac {1}{n^{3}}}+...+1\times {\frac {1}{n^{n}}}\right]}$

${\displaystyle =\lim _{n\to \infty }\left[1+1+{\frac {n\times \left(n-1\right)}{2n^{2}}}+{\frac {n\times \left(n-1\right)\left(n-2\right)}{3\times 2n^{3}}}+...+{\frac {1}{n^{n}}}\right]}$

${\displaystyle =2+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{6}}+...}$

${\displaystyle =2.71828...}$

• 在Google2004年的首次公開募股，集資額不是通常的整頭數，而是$2,718,281,828，這當然是取最接近整數的${\displaystyle e}$ 十億美元。Google2005年的一次公開募股中，集資額是$14,159,265，与圆周率有关。
• Google也是首先在矽谷心臟地帶，接著在麻薩諸塞州劍橋出現的神祕廣告版 的幕後黑手，它寫著{first 10-digit prime found in consecutive digits of e}.com（在${\displaystyle e}$ 的連續數字中第一個發現的十位質數.com）。解決了這問題（第一個${\displaystyle e}$ 中的十位質數是7427466391，出奇地到很後才出現，由第100個數字開始），進入網站後還有個更難的題目要解決，最後會到達Google的招聘頁。但這個挑戰已結束，上述網站都已關閉。
• 著名電腦科學家高德納的软件Metafont的軟體版本號趨向${\displaystyle e}$ （就是說版本號碼是2，2.7，2.71，2.718等），与之相对的有TeX的軟體版本號号是趋向于圆周率的。

• e的π次方
• 无理数
• 超越数
• 欧拉数
• 圆周率
• 指数函数
• 自然對數