棣莫弗公式
一個關於複數和三角函數的公式
棣莫弗公式是一個關於複數和三角函數的公式,命名自法國數學家亞伯拉罕·棣美弗(1667年-1754年)。其內容為對任意实数和整數,下列性質成立:
其中是虛數單位()。值得注意的是,儘管本公式以棣美弗本人命名,他從未直接地將其發表過[1]。為了方便起見,我們常常將合併為另一個三角函數cis(x),也就是說:
在操作上,我們常常限制屬於實數,這樣一來就可藉由比較虛部與實部的方式把和變化為和的形式。另外,儘管棣美弗公式限制須為整數,但倘若適當推廣本公式,便可將拓展到非整數的領域。
證明编辑
(证明的思路是用数学归纳法证明正整数的情形,并推广到负整数。)
令
(1)当 时,显然成立。
(2)當 时:
左式 右式
因此, 成立。
(3)當 时:
假設 成立,即
當 时:
等号1处使用和角公式。
因此, 也成立。
综上所述,根據數學歸納法, , 成立。
另外,由恒等式:
可知,公式对于负整数情况也成立。
证毕。
檢定编辑
- 由於
- 所以
用棣莫弗公式求根编辑
此定理可用來求單位複數的 次方根。設 ,表為
若 ,則 也可以表成:
按照棣莫弗公式:
於是得到
- (其中 )
也就是:
當 取 ,我們得到 個不同的根:
參考資料编辑
- ^ Lial, Margaret L.; Hornsby, John; Schneider, David I.; Callie J., Daniels. College Algebra and Trigonometry 4th. Boston: Pearson/Addison Wesley. 2008: 792. ISBN 9780321497444.
- ^ 林琦焜. 棣美弗定理與 Euler 公式 (PDF). 中央研究院. 2006-12-22 [2017-06-18]. (原始内容存档 (PDF)于2021-01-19).
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