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超實數 」。
各种各样的数 基本 N ⊆ Z ⊆ Q ⊆ R ⊆ C {\displaystyle \mathbb {N} \subseteq \mathbb {Z} \subseteq \mathbb {Q} \subseteq \mathbb {R} \subseteq \mathbb {C} }
延伸
其他
圓周率 π = 3.14159265 {\displaystyle \pi =3.14159265} …自然對數的底 e = 2.718281828 {\displaystyle e=2.718281828} …虛數單位 i = − 1 {\displaystyle i={\sqrt {-{1}}}} 無限大 ∞ {\displaystyle \infty }
在數學 上,超現實數系統 (英語:Surreal Numbers )是一種連續統 ,其中含有實數 以及無窮 量,即無窮大(小 )量,其絕對值 大(小)於任何正實數 。超現實數與實數有許多共同性質,包括其全序關係 「≤」以及通常的算術運算(加減乘除);也因此,它們構成了有序域 [註 1] 。在嚴格的集合論 意義下,超現實數是可能出現的有序域中最大的;其他的有序域,如有理數域 、實數域 、有理函數域 、列維-奇維塔域 、上超實數域 和超實數域 等,全都是超現實數域的子域 。超現實數域也包含可達到的、在集合論 裡構造過的所有超限 序數 。
超现实数树的可视化。 超現實數是由約翰·何頓·康威 (John Horton Conway)所定義和構造的。這個名稱早在1974年便已由高德納 (Donald Knuth)在他的書《研究之美》[註 2] [1] [2] 中就被引進了。《研究之美》是一部中短篇數學小說,而值得一提的是,這種把新的數學概念在一部小說中提出來的情形是非常少有的。在這部由對話體寫成的著作裡,高德納造了「surreal number」一詞,用來指稱康威起初只叫做「number」(數)的這個新概念。康威樂於採用新的名稱,後來在他1976年的著作《論數字與博弈》(On Numbers and Games)中就描述了超現實數的概念並使用它來進行了一些博弈分析。
概述 编辑
康威[3] 使用递归构造了超现实数,其中每个数都是两个数集构成的序对 ,记为 { L | R } {\displaystyle \{L|R\}} 。这两个集合要求 L {\displaystyle L} 里的每个元素都严格小于每个 R {\displaystyle R} 里的元素。不同的序对可能表达同样的数字: { 1 | 3 } = { 3 2 | 5 2 } = 2 {\displaystyle \{1|3\}=\left\{{\frac {3}{2}}|{\frac {5}{2}}\right\}=2} 。
整数及二进分数 编辑 让我们先来看几个简单的例子。
{ | } = 0 {\displaystyle \{|\}=0} { 0 | } = 1 {\displaystyle \{0|\}=1} { 1 | } = 2 {\displaystyle \{1|\}=2} { | 0 } = − 1 {\displaystyle \{|0\}=-1} { | − 1 } = − 2 {\displaystyle \{|-1\}=-2} 因此整数都是超现实数。(以上几行是定义 而非等式 。)
{ 0 | 1 } = 1 2 {\displaystyle \{0|1\}={\frac {1}{2}}} { 0 | 1 2 } = 1 4 {\displaystyle \left\{0|{\frac {1}{2}}\right\}={\frac {1}{4}}} { 1 2 | 1 } = 3 4 {\displaystyle \left\{{\frac {1}{2}}|1\right\}={\frac {3}{4}}} 至此我们可以通过超现实数定义二进分数 (分母为2的幂次的分数)。
其他实数 编辑 为了定义更多的实数,我们可以将使用无限的左右集合: 1 3 = { 0 , 1 4 , 5 16 , … | 1 2 , 3 8 , … } {\displaystyle {\frac {1}{3}}=\{0,{\frac {1}{4}},{\frac {5}{16}},\ldots |{\frac {1}{2}},{\frac {3}{8}},\ldots \}} , π = { 3 , 25 8 , 201 64 , … | 4 , 7 2 , 13 4 , 51 16 , … } {\displaystyle \pi =\{3,{\frac {25}{8}},{\frac {201}{64}},\ldots |4,{\frac {7}{2}},{\frac {13}{4}},{\frac {51}{16}},\ldots \}} ,事实上可以同样地使用二进制展开的方法定义出所有实数。
无穷数 编辑 根据归纳法,我们可以构造出 ω = { 0 , 1 , 2 , 3 … | } {\displaystyle \omega =\{0,1,2,3\ldots |\}} , ω − 1 = { 0 , 1 , 2 , 3 … | ω } {\displaystyle \omega -1=\{0,1,2,3\ldots |\omega \}} 等无穷大的数, 1 ω = { 0 | 1 , 1 2 , 1 4 , 1 8 … } {\displaystyle {\frac {1}{\omega }}=\{0|1,{\frac {1}{2}},{\frac {1}{4}},{\frac {1}{8}}\ldots \}} 等无穷小数。以上超现实数皆不属于实数。
更多的数 编辑 我们定义 P 0 = 0 {\displaystyle P_{0}={0}} 。
若 x = { L | R } , L , R ⊂ P i {\displaystyle x=\{L|R\},\ L,R\subset P_{i}} 且 x ∉ P i {\displaystyle x\not \in P_{i}} ,那么 x ∈ P i + 1 {\displaystyle x\in P_{i+1}} ,这在直观上等价于“ x {\displaystyle x} 是在第 i {\displaystyle i} 天中出生的”。
那么我们可以观察发现:
1 , − 1 ∈ P 1 {\displaystyle 1,-1\in P_{1}} 2 , − 2 , 1 2 , − 1 2 ∈ P 2 {\displaystyle 2,-2,{\frac {1}{2}},-{\frac {1}{2}}\in P_{2}} π , ω , 1 3 ∈ P ω {\displaystyle \pi ,\omega ,{\frac {1}{3}}\in P_{\omega }} ω − 1 , ω + 1 ∈ P ω + 1 {\displaystyle \omega -1,\omega +1\in P_{\omega +1}} ω + π ∈ P 2 ω {\displaystyle \omega +\pi \in P_{2\omega }} ,其中 2 ω = { 0 , 1 , 2 , … , ω + 1 , ω + 2 , … | } {\displaystyle 2\omega =\{0,1,2,\ldots ,\omega +1,\omega +2,\ldots |\}} ∀ i ∈ O r d : i ∈ P i {\displaystyle \forall i\in \mathbb {Ord} :i\in P_{i}} 我们将超现实数集合称作 N o {\displaystyle \mathbb {No} } 。
序关系 编辑
给定 x = { X L | X R } , y = { Y L | Y R } {\displaystyle x=\{X_{L}|X_{R}\},\ y=\{Y_{L}|Y_{R}\}} ,我们(递归地)定义 x ≤ y {\displaystyle x\leq y} 当且仅当以下两命题同时成立:
没有一个 x L ∈ X L {\displaystyle x_{L}\in X_{L}} 符合 y ≤ x L {\displaystyle y\leq x_{L}} , 没有一个 y R ∈ Y R {\displaystyle y_{R}\in Y_{R}} 符合 y R ≤ x {\displaystyle y_{R}\leq x} 。 那么可以自然地定义 x < y , x > y , x = y , x ≥ y {\displaystyle x<y,x>y,x=y,x\geq y} 。可以证明,这样的二元关系是一个全序关系 。
我们分别将 x < 0 , x > 0 , x ≤ 0 , x ≥ 0 {\displaystyle x<0,x>0,x\leq 0,x\geq 0} 称为 x {\displaystyle x} 负、 x {\displaystyle x} 正、 x {\displaystyle x} 非正、 x {\displaystyle x} 非负。
我们定义 x ‖ y {\displaystyle x\|y} 表示 x ≤ y {\displaystyle x\leq y} 与 y ≤ x {\displaystyle y\leq x} 同时不成立 。事实上这样的二元关系在超现实数中不可能存在,但是这个关系会在之后的博弈 章节出现。
运算 编辑
加法 编辑 我们定义超现实数之间的加法 为 x + y = { X L + y ∪ x + Y L | X R + y ∪ x + Y R } {\displaystyle x+y=\left\{X_{L}+y\cup x+Y_{L}|X_{R}+y\cup x+Y_{R}\right\}} ,其中 X + y = { x + y | x ∈ X } , x + Y = { x + y | y ∈ Y } {\displaystyle X+y=\left\{x+y|x\in X\right\},x+Y=\left\{x+y|y\in Y\right\}} 。
加法逆元 编辑 我们定义负号(加法逆元 )为 − x = { − X R | − X L } {\displaystyle -x=\left\{-X_{R}|-X_{L}\right\}} ,其中 − X = { − x | x ∈ X } {\displaystyle -X=\left\{-x|x\in X\right\}} 。
可以验证这两个运算构成了(真类 上的)阿贝尔群 。
乘法 编辑 我们定义乘法 运算为 x y = { ( X L y + x Y L − X L Y L ) ∪ ( X R y + x Y R − X R Y R ) | ( X L y + x Y R − X L Y R ) ∪ ( X R y + x Y L − X R Y L ) } {\textstyle xy=\left\{(X_{L}y+xY_{L}-X_{L}Y_{L})\cup (X_{R}y+xY_{R}-X_{R}Y_{R})|(X_{L}y+xY_{R}-X_{L}Y_{R})\cup (X_{R}y+xY_{L}-X_{R}Y_{L})\right\}} ,其中 X Y = { x y | x ∈ X , y ∈ Y } , x Y = { x } Y , X y = X { y } {\displaystyle XY=\{xy|x\in X,y\in Y\},\ xY=\{x\}Y,\ Xy=X\{y\}} 。
乘法逆元 编辑 我们定义(正数的)乘法逆元 为 1 y = { 0 , 1 + ( y R − y ) ( 1 y ) L y R , 1 + ( y L − y ) ( 1 y ) R y L | 1 + ( y L − y ) ( 1 y ) L y L , 1 + ( y R − y ) ( 1 y ) R y R } {\textstyle {\frac {1}{y}}={\Bigg \{}0,{\frac {1+(y^{R}-y)({\frac {1}{y}})^{L}}{y^{R}}},{\frac {1+(y^{L}-y)({\frac {1}{y}})^{R}}{y^{L}}}{\Bigg |}{\frac {1+(y^{L}-y)({\frac {1}{y}})^{L}}{y^{L}}},{\frac {1+(y^{R}-y)({\frac {1}{y}})^{R}}{y^{R}}}{\Bigg \}}} ,这样除法就是 x y = x ( 1 y ) {\displaystyle {\frac {x}{y}}=x\left({\frac {1}{y}}\right)} 。我们可以发现这个定义是递归 的,但是实际上这个数字是良定义的:我们取 y = 3 = { 2 | } {\textstyle y=3=\{2|\}} 那么 1 3 {\textstyle {\frac {1}{3}}} 会有一个 0 {\textstyle 0} 作为左项,导致了 1 + ( 2 − 3 ) 0 2 = 1 / 2 {\textstyle {\frac {1+(2-3)0}{2}}=1/2} 会是一个右项。这又意味着 1 + ( 2 − 3 ) ( 1 2 ) 2 = 1 4 {\textstyle {\frac {1+(2-3)\left({\frac {1}{2}}\right)}{2}}={\frac {1}{4}}} 作为左项、 1 + ( 2 − 3 ) ( 1 4 ) 2 = 3 8 {\textstyle {\frac {1+(2-3)\left({\frac {1}{4}}\right)}{2}}={\frac {3}{8}}} 作为右项,以此类推,所以我们有 1 3 = { 0 , 1 4 , 5 16 , … | 1 2 , 3 8 , … } {\textstyle {\frac {1}{3}}=\{0,{\frac {1}{4}},{\frac {5}{16}},\ldots |{\frac {1}{2}},{\frac {3}{8}},\ldots \}} (考虑两边的序列在实数中分别收敛到 1 3 {\displaystyle {\frac {1}{3}}} ,因此是相容的)。
对于负数,我们定义 1 x = − 1 − x ( x < 0 ) {\displaystyle {\frac {1}{x}}=-{\frac {1}{-x}}\quad (x<0)} 。
子集对应 编辑
有理数 、实数 、序数 分别是超现实数的子集。
有理数 编辑 所有二进分数都可以定义为超现实数,而所有分数都可以表示为两个整数之比,因此所有有理数都可以表示为超现实数。
实数 编辑 在定义出了有理数之后,使用戴德金分割 可以立刻将实数映射到超现实数中。
假设 x ∈ R , x = A | A ′ {\displaystyle x\in \mathbb {R} ,x=A|A'} ,其中 A , A ′ ⊂ Q {\displaystyle A,A'\subset \mathbb {Q} } ,那么立刻可知存在 X ∈ N o , X = { f ( A ) | f ( B ) } {\displaystyle X\in \mathbb {No} ,X=\left\{f(A)|f(B)\right\}} 是 x {\displaystyle x} 的一个超现实数表示,其中 f : Q → N o {\displaystyle f:\mathbb {Q} \to \mathbb {No} } 是有理数到超现实数的域同態。
序数 编辑 我们将所有序数定义为小于它的序数构成的集合[4] 。所有序数的全体记为 O r d {\displaystyle \mathbb {Ord} } ,那么我们有:
f : O r d → N o , f ( X ) = { f ( x ) , x ∈ X | } {\displaystyle f:\mathbb {Ord} \to \mathbb {No} ,\ f(X)=\left\{f(x),x\in X|\right\}} 这样的同态可以保持序关系的结构,但是并不能保证算术的一一对应,比如 ω − 1 {\displaystyle \omega -1} 这一式子的值在序数中的结果是 ω {\displaystyle \omega } ,而在超现实数中则是 { 0 , 1 , 2 , … | ω } {\displaystyle \{0,1,2,\ldots |\omega \}} .
博弈 编辑 暫譯術語 编辑
超現實數(Surreal) 無窮量(Infinitesimal) 格羅滕迪克 宇集注释 编辑 来源 编辑