戴德金分割
戴德金分割(英語:Dedekind cut)是数学中对于全序集的操作。对于给定的全序集及其中某个元素而言,将分拆为两个非空集合,使得两者其一中所有元素(按照顺序)均在之前、另一真子集中所有元素均在之后。
常见的是对于全体有理数的操作,即。对于有理数,将有理数集合分拆为两个非空集合和,若和满足条件:
- ,关系式和必有且只有一个成立。
- ,,必有,并且和两者在不同时取等号时均成立。
则称这样的分拆为有理数的一个戴德金分割,记为。其中集合称为戴德金分割的下组,集合称为戴德金分割的上组。
分类编辑
根据戴德金分割中 和 是否有最大数、最小数,可以将戴德金分割分为三种类型:
- 中有最大数, 中无最小数
- 中无最大数, 中有最小数
- 中无最大数, 中无最小数
可以证明,“ 中有最大数, 中有最小数」的情况并不存在。证明如下:
如果 有最大数 , 有最小数 ,则根据分割的定义可知 。但是 显然也是有理数,并且 ,因此 既不在 中, 也不在 中,这就与 是全体有理数矛盾。
第三种情况揭示了在有理数域中存在这样的一种「空隙」( 和 之间的界数),这个「空隙」所对应的数既不属于 ,也不属于 ,因此它不是有理数,它所对应的数就是无理数,因此说第3种情况的戴德金分割定义了一个无理数。
作为一个直观的理解,我们可以把上面三种分化分别看成 、 和 ,而“ 中有最大数、 中有最小数”的情况就是 ,中间的分割点d同时(不合法地)属于两边集合。
例子编辑
- 将所有小于或等于0的有理数划分为集合 ,将所有余下的有理数(即大于0的有理数)划分为集合 ,则 是一个戴德金分割,并属于上述分类中的第1种情形。
- 将所有小于0的有理数划分为集合 ,将所有余下的有理数(即大于或等于0的有理数)划分为集合 ,则 是一个戴德金分割,并属于上述分类中的第2种情形。
- 将所有小于或等于0、其平方小于或等于3的正有理数(即满足 的数)划分到集合 ,将余下的有理数(即其平方大于3的正有理数)划分到集合 ,则 是一个戴德金分割,并属于上述分类中的第3种情形,此时戴德金分割 定义了无理数 。
定義大小编辑
假设无理数 由分划 所确定,无理数 由分划 所确定,则
无理数小于( )的概念可由大于( )的概念定义,即 当且仅当 。如此得到實數系的大小關係,其性質有:
所以該大小關係是全序關係。
参阅编辑
参考文献编辑
- 菲赫金哥尔茨; 杨弢亮 译; 叶彦谦 译; 郭思旭 校. 微积分学教程(第一卷) 第8版. 高等教育出版社. : 5–6. ISBN 5-9221-0436-5.
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