在抽象代数中,體(德語:Körper,英語:Field)是一种具有加法跟乘法的集合(代数结构),且其加法跟乘法運算就如同普通的有理數還有實數。事實上,體正是数域以及四则运算的推廣,所以被廣泛運用在代數、數論等數學領域中。
體是环的一種。但區別在於域要求它的非零元素可以做除法,且體的乘法有交換律。
最有名的體結構的例子就是有理數體、實數體還有複數體。還有其他形式的體,例如有理函數體、代數函數體、代數數體、p進數體等,都很常在數學的領域中被使用或是研究,特別是數論或是代數幾何。此外還有一些密碼學上的安全協定都是依靠著有限體。
在兩個體中的關係被表示成體擴張的觀念。Galois理論,由ÉvaristeGalois在1830年代提出,致力於理解體擴展的對稱性。其中Galois理論還有其他結果,解決了不能用尺規作圖做出三等份角以及化方為圓的問題。此外,還解決了五次方程不能有公式解的問題。
正式定义编辑
給定集合 ,它具有了以下兩種二元运算:
- (其中 慣例上簡記為 )
- (其中 慣例上簡記為 或 甚至是 )
滿足:
- 為交换群,且其單位元為 。
- 為交换群。
- 分配律:對所有 , 且 。
那稱「 為體」,當二元运算的符號不重要時,亦可將 簡記為 。
慣用符號與稱呼编辑
(1)體的代號:
有時會基於德语 Körper ,以字母 代稱體,但也會基於英语 Field 以 代稱。
(2)加法與乘法:
習慣上, 被稱為乘法, 的單位元會記為 ,並稱為 的乘法單位元。
類似地, 被稱為加法, 被稱為體的加法單位元。所以在省略括弧後,仍依照先乘後加的方式閱讀。
(3)減法與除法:
對於任意 ,會依據群的習慣,將 的加法逆元素記做 ,並將 簡記為 ,並可暱稱為減法。
類似地,若 , 的乘法逆元素記做 ,並將 簡記為 ,並可暱稱為除法。
基本性質编辑
以上的定理也證明了,只要 為交换群且有分配律,就足以決定 相關乘法的值。所以正式定義中把 排除在乘法的交換群之外是不會有問題的。也就是說
系理 (乘法結合律) — 為體,那對任意 有
-
證明根據乘法的結合律和交換律,還有乘法單位元的性質會有
故得証。
證明如果 ,那對任意 都有 ,所以以下只考慮 狀況。
假設存在 滿足 和 ,但同時 ,這樣根據定理(1)和(3)有
這顯然是矛盾的,所以根據反證法和德摩根定理,對所有的 ,只能「 其中一者為 」或「 」,也就等價於:
- 「對所有 ,若 則 其中一者為 。」
故得証。
- 域F中的所有非零元素的集合(一般记作F×)是一个關於乘法的阿贝尔群。F×的每个有限子群都是循环群。
- 若存在正整数n使得0 = 1 + 1 + ... + 1(n个1),那么这样的n中最小的一个称为这个域的特征,特征要么是一个素数p,要么是0(表示这样的n不存在)。此时 中最小的子域分别是 或有限域 ,称之为 的素域。
- 一个交换环是域当且仅当它的理想只有自身和零理想。
- 在选择公理成立的假设下,对每个域F都存在着唯一的一个域G(在同构意义上),G包含F,G是F的代数扩张,并且G代数封闭。G称作由F确定的代数闭包。在很多情况下上述的同构并不是唯一的,因此又说G是F的一个代数闭包。
例子编辑
有限體编辑
有限體是一個體有著有限多個元素,其元素個數也跟體的階數相同,按照體的定義,可以知道 為最小的有限體,因為根據定義,一個體至少包含兩個元素 。
通常來說,最簡單的質數階體,就是 ,此處 為質數,在這個體上的加法與乘法等同於在整數 上的運算,然後除以 ,取它的餘數。這個運算精確的建構了一個體,通常我們將這個體記作 。要注意的是 ,當n為合成數時並不是一個有限體,例如在 中 ,因此 不能形成群。
如果我們將向量空間 ,則我們將V稱作有限體向量空間,其中 ,可知這個向量空間中,有 個元素。
如果我們將有限體放入矩陣,也就是 ,則此矩陣的元素有
歷史编辑
歷史上,三個代數中的學科導引到了體的概念:第一個是解多項式方程的問題,第二個是代數數論,第三個則是代數幾何的問題。體的概念始於1770年,由拉格朗日所提出。拉格朗日他觀察到關於三次方程的根x1, x2, x3的置換,在以下的表達
(x1 + ωx2 + ω2x3)3
(其中ω是三次方程的單位根)只產生兩個值。在這方向上,拉格朗日概念上的解釋了由 希皮奧內·德爾·費羅 和 弗朗索瓦·韋達 的經典解法,其解法藉由簡化三次方程關於未知 x 到一個 x3的二次方程。四次方程上也和三次方程一樣有相似的觀察,拉格朗日因此連結的關於體的概念還有群的概念。數學家范德蒙也同樣在1770年有著更全面的延伸。
建構體编辑
伽羅瓦理論编辑
體的不變量编辑
應用编辑
參見编辑
參考文獻编辑