满射

函数${\displaystyle g:\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R} }$ ，定义为${\displaystyle g(x)=x^{2}}$ ，不是一个满射，因为，（舉例）不存在一个实数满足${\displaystyle x^{2}=-1}$ 。

但是，如果把${\displaystyle g}$ 的陪域限制到只有非负实数，则函数${\displaystyle g}$ 为满射。这是因为，给定一个任意的非负实数${\displaystyle y}$ ，我们能对${\displaystyle y=x^{2}}$ 求解，得到${\displaystyle x=\pm {\sqrt {y}}}$ 。

根据定义，函数为双射当且仅当它既是满射也是单射。

若將定義在${\displaystyle X}$ 上的函數${\displaystyle f}$ ，視為其圖像，即${\displaystyle \{(x,f(x)):x\in X\}}$ （集合論經常如此行），則滿射與否，不僅是${\displaystyle f}$ 的性質，而是映射（需要聲明陪域）的性質。^[1]單射與否可以單憑圖像判斷，但滿射則不同，不能單憑圖像判斷，因為要知道陪域。

右可逆函數编辑

函數${\displaystyle g:Y\to X}$ 稱為函數${\displaystyle f:X\to Y}$ 的右逆，意思是${\displaystyle f(g(y))=y}$ 對${\displaystyle Y}$ 的所有元素${\displaystyle y}$ 成立。簡而言之，${\displaystyle g}$ 的效果，可以${\displaystyle f}$ 復原。用文字表示，${\displaystyle g}$ 是${\displaystyle f}$ 的右逆，意思是先做${\displaystyle g}$ 後做${\displaystyle f}$ 的複合${\displaystyle f\circ g}$ ，等於${\displaystyle Y}$ 上的恆等函數，即不造成任何變化。此處不要求${\displaystyle g}$ 是${\displaystyle f}$ 的真正反函數，因為另一次序的複合${\displaystyle g\circ f}$ ，不必是${\displaystyle X}$ 的恆等函數。換言之，${\displaystyle f}$ 可以「復原」或「抵消」${\displaystyle g}$ ，但不必被${\displaystyle g}$ 復原或抵消。

若函數有右逆，則必為滿射。但反之，「每個滿射皆有右逆」此一命題，等價於選擇公理，故在某些集合論中（例如假設決定公理為真的集合論系統），不必為真。

若${\displaystyle f:X\to Y}$ 為滿射，${\displaystyle B}$ 為${\displaystyle Y}$ 的子集，則${\displaystyle f(f^{\mathrm {pre} }(B))=B}$ ，即從預象${\displaystyle f^{\mathrm {pre} }(B)}$ ，可以找回${\displaystyle B}$ 。

右可消去编辑

函數${\displaystyle f:X\to Y}$ 是滿射，當且僅當其為右可消去（英语：right-cancellative）：^[2]給定任何兩個有公共定義域和陪域的函數${\displaystyle g,h:Y\to Z}$ ，若${\displaystyle g\circ f=h\circ f}$ ，則有${\displaystyle g=h}$ 。此性質的敍述用到函數和複合，可以對應推廣成範疇的態射和複合。右可消的態射稱為滿態射（英语：epimorphism）或滿同態。滿射與滿態射的關係在於，滿射就是集合範疇中的滿態射。

範疇論中，有右逆的態射必為滿態射，但反之則不然。態射${\displaystyle f}$ 的右逆${\displaystyle g}$ 也稱為${\displaystyle f}$ 的截面（英语：section (category theory)）。而有右逆的態射稱為分裂滿態射（英语：split epimorphism），是一類特殊的滿態射。

作為二元關係编辑

以${\displaystyle X}$ 為定義域，${\displaystyle Y}$ 為值域的函數，可以視為兩集合之間的左全（英语：left-total relation）右唯一（英语：right-unique relation）的二元關係，因為可將函數與圖像等同。此觀點下，由${\displaystyle X}$ 到${\displaystyle Y}$ 的滿射，是右唯一而既左全又右全的關係。

定義域不小於陪域编辑

滿射的定義域，必有大於或等於其陪域的基數：若${\displaystyle f:X\to Y}$ 為滿射，則${\displaystyle X}$ 的元素個數必定至少等於${\displaystyle Y}$ 的元素個數（在基數意義下）。但此結論的證明，需要假定選擇公理，以證明${\displaystyle f}$ 有右逆，即存在函數${\displaystyle g:Y\to X}$ 使得${\displaystyle f(g(y))=y}$ 對${\displaystyle Y}$ 的任意元素${\displaystyle y}$ 成立。滿足此性質的${\displaystyle g}$ 必為單射，故由基數大小比較的定義，有${\displaystyle |Y|\leq |X|}$ 。

特別地，若${\displaystyle X}$ 和${\displaystyle Y}$ 皆是有限，且兩者的元素個數相同，則${\displaystyle f:X\to Y}$ 是滿射當且僅當${\displaystyle f}$ 為單射。

給定兩個集合${\displaystyle X}$ 和${\displaystyle Y}$ ，以${\displaystyle X\leq ^{*}Y}$ 表示「或者${\displaystyle X}$ 為空，或者存在由${\displaystyle Y}$ 至${\displaystyle X}$ 的滿射」。利用選擇公理，可以證明，${\displaystyle X\leq ^{*}Y}$ 和${\displaystyle Y\leq ^{*}X}$ 兩者一起，足以推出${\displaystyle |Y|=|X|}$ 。此為康托爾-伯恩斯坦-施羅德定理的變式。

複合與分解编辑

兩個滿射的複合仍是滿射：若${\displaystyle f}$ 和${\displaystyle g}$ 皆為滿射，且${\displaystyle g}$ 的陪域是${\displaystyle f}$ 的定義域，則${\displaystyle f\circ g}$ 也是滿射。反之，若${\displaystyle f\circ g}$ 為滿，則${\displaystyle f}$ 是滿射，但${\displaystyle g}$ 不必為滿射。與右可消去一節一樣，從集合範疇的滿射，可以推廣到一般範疇的滿態射。

任何函數都可以分解成一個滿射與一個單射的複合：對任意${\displaystyle h:X\to Z}$ ，都存在滿射${\displaystyle f:X\to Y}$ 和單射${\displaystyle g:Y\to Z}$ 使得${\displaystyle h=g\circ f}$ ，取法如下：定義${\displaystyle Y}$ 為所有原像${\displaystyle h^{\mathrm {pre} }(z)}$ 的集合，其中${\displaystyle z}$ 歷遍${\displaystyle h}$ 的值域。該些原像兩兩互斥，且劃分${\displaystyle X}$ 。於是，${\displaystyle f}$ 將每個${\displaystyle x}$ 映到包含${\displaystyle x}$ 的原像（此為${\displaystyle Y}$ 的元素），然後${\displaystyle g}$ 再將${\displaystyle Y}$ 的每個元素（形如${\displaystyle h^{\mathrm {pre} }(z)}$ ）映到相應的${\displaystyle z}$ 。則${\displaystyle f}$ 為滿射（因為${\displaystyle Y}$ 中的元素，是原像${\displaystyle h^{\mathrm {pre} }(z)}$ ，且非空，故有某個${\displaystyle x\in h^{\mathrm {pre} }(z)}$ ，所以由${\displaystyle f}$ 的定義有${\displaystyle f(x)=h^{\mathrm {pre} }(z)}$ ），而根據${\displaystyle g}$ 的定義，其為單射。

導出滿射和導出雙射编辑

任何函數，若將其陪域限制成值域，則可以視為滿射，稱為其導出滿射。任何滿射，若將定義域換成商集，即將函數值相同的參數，摺疊成同一個「等價類」，則得到一個雙射，其由等價類組成的集合，射去原函數的陪域。以符號表示，每個滿射${\displaystyle f:A\to B}$ 可以分解成先做一個商映射，再做一個雙射。考慮以下等價關係：${\displaystyle x\sim y}$ 當且僅當${\displaystyle f(x)=f(y)}$ 。以${\displaystyle A/{\sim }}$ 表示此等價關係下，${\displaystyle A}$ 的等價類的集合。換言之，${\displaystyle A/{\sim }}$ 是${\displaystyle f}$ 所有原像的集合。以${\displaystyle P:A\to A/{\sim }}$ 表示將${\displaystyle x}$ 映到等價類${\displaystyle [x]_{\sim }}$ 的商映射，又設${\displaystyle f_{P}:A/{\sim }\to B}$ ，定義為${\displaystyle f_{P}([x]_{\sim })=f(x)}$ ，則${\displaystyle f=f_{P}\circ P}$ 。由定義知，${\displaystyle P}$ 是滿射，而${\displaystyle f_{P}}$ 是雙射。

• 单射
• 双射

1. ^ T. M. Apostol. Mathematical Analysis. Addison-Wesley. 1981: 35. 
2. ^ Goldblatt, Robert. Topoi, the Categorial Analysis of Logic [拓撲斯，邏輯的範疇論分析] Revised. Dover Publications. 2006 [1984] [2009-11-25]. ISBN 978-0-486-45026-1. （原始内容存档于2020-03-21） （英语）.