子集
集合A是集合B的子集,是指A的所有元素都是B當中的元素
子集(英語:subset)亦稱部分集合,為某集合中一部分的集合;關係相反時則稱作父集、母集、超集。子集與父集关系上以“包含”稱呼。
如果集合A的任意一个元素都是集合B的元素(任意 a∈A,则 a∈B),那么集合A称为集合B的子集,记为 或 ,读作“集合A包含于集合B”或“集合B包含集合A”。
即:,有 ,则 。
- 是的子集(或称 包含于 );
- 是的父集/超集(或称 包含 );
任何集合皆是本身的子集()。而的子集中不等于 的集合,称为真子集,若 是 的真子集,写作 。
定义编辑
假设有 和 两个集合,如果 中的每个元素都是 的元素,则:
- 是 的子集,记作
- 也可以说
- 是 的超集,记作
如果 是 的子集,但 不等于 (即 中至少存在一个元素不在 集合中),则:
- 是 的真子集,记作
- 也可以说
- 是 的真超集,记作
符号编辑
ISO 80000-2 标准中定义了两种符号搭配:[1]
举例编辑
性质编辑
命题1:空集是任意集合的子集。
这个命题说明:包含是一种偏序关系。
命题2:若 是集合,则:
- 自反性:
- 传递性:
- 若 且 则
这个命题说明:对任意集合 , 的幂集按包含排序是一个有界格,与上述命题相结合,则它是一个布尔代数。
命题3:若 是集合 的子集,则:
- 存在并运算:
- 若 且 则
- 存在交运算:
- 若 且 则
命题4:对任意两个集合 和 ,下列表述等价:
參考文獻编辑
- ^ ISO 80000-2:2019 Quantities and units — Part 2: Mathematics ISO 80000-2:2019 Quantities and units — Part 2: Mathematics. ISO. 2019-08 [2023-7-24]. (原始内容存档于2023-03-13) (英语).
- ^ 離散數學-第三章, [2012-09-07], (原始内容存档于2012-07-03)
- ^ 剑桥大学国际考试院IGCSE数学考纲 (PDF), [2015-03-14], (原始内容存档 (PDF)于2016-03-04)
- ^ Subsets and Proper Subsets (PDF), [2012-09-07], (原始内容 (PDF)存档于2013-01-23)
- ^ Rudin, Walter, Real and complex analysis 3rd, New York: McGraw-Hill, 1987, ISBN 978-0-07-054234-1, MR 0924157
参见编辑
- 冪集:某集合的全部子集组成的集合。
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