集合范畴
(重定向自集合範疇)
在範疇論這個數學領域中,集合範疇(標記為 Set)是一個對象為集合的範疇。集合 A 及 B 之間的態射族包含所有從 A 映射至 B 的函數。
集合範疇是許多其他範疇(如其態射為群同態的群範疇)的基礎,這些範疇均是在集合範疇的對象上附加其他結構,並限制其態射為特定函數而成。
證明集合範疇為範疇编辑
已知一數學物件具有對象及態射,若該數學物件存在一態射複合,滿足結合律,且具單位態射的話,則此數學物件為一範疇。
對任意三對象A、B 及 C,取任意兩函數f∈hom(A,B) 及g∈hom(B,C),可知其函數複合g o f 為由A 映射至C 的函數,故g o f∈hom(A,C)。因此,此集合範疇之函數複合為態射複合。
函數複合滿足結合律,且具單位函數,因此集合範疇為一範疇。
性質编辑
由于罗素悖论,即所有集合的全体不能作为一个集合而存在,Set的对象类为一真类。故Set为大范畴。
Set的满态射为满射函数,单态射为单射函数,同构态射为双射函数。
Set的始对象为空集,终对象为任意单元素集合。Set无零对象。
Set为完全和上完全范畴。Set的积为集合的笛卡儿积;上积为不相交并:给定一组集合 Ai(i ∈ I),其上积可构造为Ai×{i}的並集。这里与{i}的笛卡儿积保证了各集合不相交。
Set是具体范畴的原型;任何具体范畴均在某些方面类似Set。
Set中任意一个二元素集合是一分类子。集合A的幂对象为其幂集。从A到B的指数对象为从A到B函数的集合。因此,Set为一拓撲斯 (且为笛卡儿闭)。
Set既非阿贝尔范畴,也非加法范畴或预加性范畴。Set无零态射。
任一Set的非始对象为单射对象,也为投射对象。
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