真因數和
真因數和,又稱真因子和,在數論中,一個正整數的所有真因數之和,即除了自己本身外的所有正因數之和,通常以來表示:
真因數和可以用來描述質數、完全数、相親數鏈、亏数、过剩数和不可及数,也可以用於定義整數的真因數和數列。
例子编辑
以12為例,12的真因數(即除了自己本身外的所有正因數)有1、2、3、4和6,則其真因數和為
下面數列呈現前幾個整數的真因數和 [1]
數字類別的性質编辑
真因數和函數可以用來區分幾個特別的數字類別:
- 1是唯一一個真因數和為0的正整數。
- 如果一個正整數真因數和為1則代表該數是一個質數[2]。
- 完全数的真因數和等於本身、亏数的真因數和小於本身、过剩数的真因數和大於本身[2]。准完全数(如果存在的話)真因數和為n+1。殆完全數(目前已知僅有2的冪)真因數和為n-1。
- 不可及数是指不是任何數之真因數和的數。相關研究至少可以追溯到大約公元1000年伊本·塔希爾·巴格達迪的研究,其發現2和5都是不可及數[2][3]。埃尔德什·帕尔證明有無限多個不可及數[4]。目前尚未確定5是否為唯一的奇數不可及數,但可以從哥德巴赫猜想的一種形式與半素数pq的真因數和為p+q+1的觀察得出[2]。
數學家保羅·波拉克(Paul Pollack)和卡爾·帕梅朗斯指出,埃尔德什·帕尔「最喜歡的研究項目」是真因數和。[2]
疊代编辑
疊代真因數和函數可以產生非負整數的真因數和數列n, s(n), s(s(n)), ...(在這個數列中,我們定義s(0) = 0)。
參見编辑
- 除數函數:一數之正因數的x次方和
- 紀堯姆·德奧貝里夫:中世紀的命理學家,對真因數和感興趣
參考文獻编辑
- ^ 1.0 1.1 Weisstein, Eric W. (编). Restricted Divisor Function. at MathWorld--A Wolfram Web Resource. Wolfram Research, Inc. (英语).
- ^ 2.0 2.1 2.2 2.3 2.4 Pollack, Paul; Pomerance, Carl, Some problems of Erdős on the sum-of-divisors function, Transactions of the American Mathematical Society, Series B, 2016, 3: 1–26, MR 3481968, doi:10.1090/btran/10
- ^ Sesiano, J., Two problems of number theory in Islamic times, Archive for History of Exact Sciences, 1991, 41 (3): 235–238, JSTOR 41133889, MR 1107382, doi:10.1007/BF00348408
- ^ Erdős, P., Über die Zahlen der Form und (PDF), Elemente der Mathematik, 1973, 28: 83–86 [2022-09-22], MR 0337733, (原始内容存档 (PDF)于2022-08-05)
- ^ Weisstein, Eric W. (编). Catalan's Aliquot Sequence Conjecture. at MathWorld--A Wolfram Web Resource. Wolfram Research, Inc. (英语).
外部連結编辑
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