迭代函数

在集合 ${\displaystyle X}$ 上的迭代函数的形式定义为:

设 ${\displaystyle X}$ 是集合和 ${\displaystyle f:X\rightarrow X}$ 是函数。定义 ${\displaystyle f}$ 的 ${\displaystyle n}$ 次迭代 ${\displaystyle f^{n}}$ 为 ${\displaystyle f^{0}=\operatorname {id} _{X}}$ 而 ${\displaystyle f^{n+1}=f\circ f^{n}}$ ，这里的 ${\displaystyle \operatorname {id} _{X}}$ 是在 ${\displaystyle X}$ 上的恒等函数。

在上述中，${\displaystyle f\circ g}$ 指示函数复合；就是说 ${\displaystyle (f\circ g)(x)=f(g(x))}$ 。

換句話說，迭代函数也可以表示為以下的形式：

${\displaystyle f^{n}(x)={\underbrace {f(f(f(...f(f} _{n}}(x))...)))}$

${\displaystyle f^{0}(x)}$ 定義為${\displaystyle x}$ 。

${\displaystyle f^{-n}(x)}$ 定義為${\displaystyle f^{n}(x)}$ 的反函數。（如果${\displaystyle f^{n}(x)}$ 的反函數不存在，則${\displaystyle f^{-n}(x)}$ 也不存在）

因此，${\displaystyle f^{1}(x)}$ 就是${\displaystyle f(x)}$ ，${\displaystyle f^{2}(x)}$ 是${\displaystyle f(f(x))}$ ，${\displaystyle f^{0}(x)}$ 是恆等函數${\displaystyle x}$ ，${\displaystyle f^{-1}(x)}$ 是${\displaystyle f(x)}$ 的反函數（如果存在的話），而${\displaystyle f^{\frac {1}{2}}(x)}$ 就是能夠使得合成函數${\displaystyle g(g(x))}$ 正好是${\displaystyle f(x)}$ 的函數${\displaystyle g(x)}$ 。

注意，一般情況下，${\displaystyle f^{n}(x)}$ 並不等於${\displaystyle (f(x))^{n}}$ 或${\displaystyle f(x^{n})}$ ，而例如${\displaystyle \sin ^{-1}(x)}$ 是${\displaystyle \sin(x)}$ 的反函數，亦即${\displaystyle \arcsin(x)}$ ，而不是${\displaystyle {\frac {1}{\sin(x)}}=\csc(x)}$ 。

一些特殊函數的冪次為（其中${\displaystyle a}$ 、${\displaystyle b}$ 、${\displaystyle n}$ 可為任意複數，亦即${\displaystyle a,b,n\in \mathbb {C} }$ ）：

${\displaystyle f(x)=a}$ ，${\displaystyle f^{n}(x)=a{\text{ if }}n\in \mathbb {R} \land n>0,f^{n}(x)=x{\text{ if }}n=0}$ （在${\displaystyle n}$ 是負實數或虛數的時候並沒有定義，就好比${\displaystyle 0^{n}}$ 在${\displaystyle n}$ 是負實數或虛數的時候也沒有定義）

${\displaystyle f(x)=x+a}$ ，${\displaystyle f^{n}(x)=x+na}$

${\displaystyle f(x)=ax}$ ，${\displaystyle f^{n}(x)=a^{n}x}$

${\displaystyle f(x)=x^{a}}$ ，${\displaystyle f^{n}(x)=x^{a^{n}}}$ （注意迭代冪次要由右往左算）

${\displaystyle f(x)=ax+b}$ ，${\displaystyle f^{n}(x)=a^{n}x+{\frac {a^{n}-1}{a-1}}b}$ （${\displaystyle a\neq 1}$ ）

${\displaystyle f(x)=bx^{a}}$ ，${\displaystyle f^{n}(x)=b^{\frac {a^{n}-1}{a-1}}x^{a^{n}}}$ （${\displaystyle a\neq 1}$ ）

（注意任何非零複數的任何複數次方都有定義：${\displaystyle a^{n}=e^{n\ln a}=e^{{\text{Re}}(n\ln a)}(\cos({\text{Im}}(n\ln a)+i\sin({\text{Im}}(n\ln a))}$ ，當${\displaystyle a}$ 為負實數或虛數時，${\displaystyle \ln(a)=\ln(|a|)+i{\text{arg}}(a)}$ ，其中${\displaystyle |a|}$ 為複數${\displaystyle a}$ 的絕對值，${\displaystyle {\text{arg}}(a)}$ 為複數${\displaystyle a}$ 的主幅角，${\displaystyle {\text{Re}}(a)}$ 為複數${\displaystyle a}$ 的實部，${\displaystyle {\text{Im}}(a)}$ 為複數${\displaystyle a}$ 的虛部）

函數冪亦有類似指數律的定理，其中${\displaystyle m}$ 、${\displaystyle n}$ 可為任意複數，亦即${\displaystyle m,n\in \mathbb {C} }$ ：

${\displaystyle f^{m}(f^{n}(x))=f^{m+n}(x)}$

${\displaystyle (f^{m})^{n}(x)=f^{mn}(x)}$

注意函數的合成是不可交換的（${\displaystyle gf(x)}$ 並不一定等於${\displaystyle fg(x)}$ ）但因為可結合（${\displaystyle h(gf)(x)}$ 一定等於${\displaystyle (hg)f(x)}$ ），所以會符合冪結合性，因此這兩條「函數冪的指數律」並沒有任何問題。

這跟例如指數拓展到次方為負整數、分數、無理數、複數，以及階乘運算跟排列組合運算${\displaystyle P_{n}^{m}}$ 、${\displaystyle C_{n}^{m}}$ 拓展到非整數和負數時（使用伽瑪函數）一樣，二項式定理也可以用這種方式拓展到負整數、分數、無理數、複數，只是會變成無窮級數而不再是有限級數而已，包括矩陣的${\displaystyle n}$ 次方以及微分${\displaystyle n}$ 次（${\displaystyle n}$ 為負整數時等同於積分${\displaystyle -n}$ 次），也都可以用這種方式，把${\displaystyle n}$ 拓展到任意複數，或例如已知「首項」、「公差/公比」、「項數」的等差數列或等比數列要求出全部項的和或乘積的公式，也都可以用這種方式，拓展到項數為負整數、分數、無理數、複數的情況（包括一般的${\displaystyle \sum _{x=m}^{n}f(x)}$ 與${\displaystyle \prod _{x=m}^{n}f(x)}$ 中，${\displaystyle f(x)}$ 為常見的函數如多項式函數、指數函數、對數函數、三角函數的時候，${\displaystyle m}$ 跟${\displaystyle n}$ 也能拓展到任意複數，就跟積分式${\displaystyle \int _{m}^{n}f(x)}$ 一樣），至於超運算${\displaystyle a[n]b}$ 能不能拓展到分數、無理數或複數，則是數學中未解決的問題之一。

函数 ${\displaystyle f^{n}}$ 的序列叫做 Picard 序列，得名于埃米尔·皮卡。对于一个给定 ${\displaystyle x\in X}$ ，${\displaystyle f^{n}(x)}$ 的值的序列叫做 ${\displaystyle x}$ 的轨道。

如果对于某个整数 ${\displaystyle m}$ 有 ${\displaystyle f^{n}(x)=f^{n+m}(x)}$ ，则轨道叫做周期轨道。对于给定 ${\displaystyle x}$ 最小的这种 ${\displaystyle m}$ 值叫做轨道的周期。点 ${\displaystyle x}$ 自身叫周期点。

如果m=1，就是说如果对于某个X中的x有f(x) = x，则x被称为迭代序列的不动点。不动点的集合经常指示为Fix（f）。存在一些不动点定理保证在各种情况下不动点的存在性，包括巴拿赫不动点定理和Brouwer不动点定理。

有很多技术通过不动点迭代（英语：Fixed-point iteration）产生了序列收敛加速。例如，应用于一个迭代不动点的Aitken方法叫做Steffensen方法，生成二次收敛。不动点理论同样也适用于经济学领域。

通过迭代，可以发现有向一个单一点收缩和会聚的一个集合。在这种情况下，会聚到的这个点叫做吸引不动点。反过来说，迭代也可以表现得从一个单一点发散；这种情况叫不稳定不动点。

当轨道的点会聚于一个或多个极限的时候，轨道的会聚点的集合叫做极限集合或 ω-极限集合。

吸引和排斥的想法类似推广；依据在迭代下小邻域行为，可把迭代分类为稳定集合和不稳定集合。

其他极限行为也有可能；比如，游荡点是总是移动永不回到甚至接近起点的点。

著名的迭代函数包括曼德博集合和迭代函数系统。

如果 f 是一个群元素在一个集合上的作用，则迭代函数对应于自由群。

• 旋转数（英语：Rotation number）
• Sarkovskii定理（英语：Sharkovskii's theorem）

• Vasile I. Istratescu, Fixed Point Theory, An Introduction, D.Reidel, Holland (1981). ISBN 90-277-1224-7