公理化集合论
(重定向自公理化集合論)
在數學中,公理化集合论是集合論透過建立一階邏輯的嚴謹重整,以解決樸素集合論中出現的悖論。集合論的基礎主要由德國數學家格奧爾格·康托爾在19世紀末建立。
嚴謹集合論的源起编辑
集合論的公理编辑
集合論中其中一套由Skolem最後整理的公理系統,称為Zermelo-Fraenkel集合論(ZF)。實際上,這個名稱通常不包括歷史上遠比今天具爭議性的選擇公理,當包括了選擇公理,這套系統被稱為ZFC。
- 外延公理:(Axiom of extensionality)兩個集合相同,若且唯若它們擁有相同的元素。
- 分類公理:(Axiom schema of specification / axiom schema of separation / axiom schema of restricted comprehension)或稱子集公理,給出任何集合及命題P(x),存在著一個原來集合的子集包含而且只包含使P(x)成立的元素。
- 配對公理:(Axiom of pairing)假如x, y為集合,那就有另一個集合{x,y}包含x與y作為它的僅有元素。
- 並集公理:(Axiom of union)每一個集合也有一個並集。也就是說,對於每一個集合x,也總存在著另一個集合y,而y的元素也就是而且只會是x的元素的元素。
- 空集公理:存在著一個不包含任何元素的集合,我們記這個空集合為{ }。可由分類公理得出。
- 無窮公理:(Axiom of infinity)存在著一個集合x,空集{ }為其元素之一,且對於任何x中的元素y,y ∪ {y}也是x的元素。
- 替代公理:(Axiom schema of replacement)
- 冪集公理:(Axiom of power set)每一個集合也有其冪集。那就是,對於任何的x,存在著一個集合y,使y的元素是而且只會是x的子集。
- 正規公理:(Axiom of regularity / Axiom of foundation)每一個非空集合x,總包含著一元素y,使x與y為不交集。
- 選擇公理:(Axiom of choice,Zermelo's version)給出一個集合x,其元素皆為互不相交的非空集,那總存在著一個集合y(x的一個選擇集合),包含x每一個元素的仅仅一個元素。
命題在ZFC中的獨立性编辑
引用编辑
- Keith Devlin, 1992. The Joy of Sets, 2nd ed. Springer-Verlag.
- Potter, Michael, 2004. Set Theory and Its Philosophy. Oxford Univ. Press. ISBN 0-19-927041-4.
- Suppes, Patrick, 1972. Axiomatic Set Theory. Dover Publications. ISBN 0-486-61630-4.
- Tourlakis, George, 2003. Lectures in Logic and Set Theory, Vol. 2. Cambridge Univ. Press.
参见编辑
- 可替代的集合論
- ℶ 數
- 康托尔-伯恩斯坦-施罗德定理
- 對角論證法
- 康托爾定理
- Implementation of mathematics in set theory
- Internal set theory
- Kripke-Platek set theory with urelements
- List of set theory topics
- 模型論
- Morse-Kelley set theory
- 樸素集合論
- 新基礎集合論
- Simple theorems in the algebra of sets
- 馮諾伊曼-博內斯-哥德爾集合論
- Zermelo-Fraenkel 集合論
- 佐恩引理
- 公理化數學
- ZFC系統無法確定的命題列表
外部链接编辑
- Metamath (页面存档备份,存于互联网档案馆): A web site devoted to an ongoing derivation of mathematics from the axioms of ZFC and first-order logic. Principia Mathematica done right.
- Stanford Encyclopedia of Philosophy:
- Set Theory(页面存档备份,存于互联网档案馆) -- by Thomas Jech.
- Quine's New Foundations (页面存档备份,存于互联网档案馆) -- by Thomas Forster.
- Alternative axiomatic set theories[失效連結] -- by Randall Holmes.
- Randall Holmes's bibliography (页面存档备份,存于互联网档案馆) for set theories allowing a universal set.
- Mathias, A. R. D., 2004, "The Strength of Mac Lane Set Theory." Surveys, and sets out new results and new proofs for old results, for a number of alternatives to ZFC, including ZBQC (proposed by Saunders Mac Lane), topos theory, Kripke-Platek set theory, Foster-Kaye set theory, Harvey Friedman, and systems similar to 新基礎集合論.
- Axioms of Set Theory at ProvenMath (页面存档备份,存于互联网档案馆)
For information on the history of set theory notation, see:
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