无穷公理
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在公理化集合论和使用它的逻辑、数学和计算机科学中,无穷公理(英語:Axiom of infinity)是策梅洛-弗兰克尔集合论的公理之一。[1]
形式陈述编辑
在Zermelo-Fraenkel公理的形式语言中,这个公理读作:
或用非形式化的語言陳述:存在一个集合 ,使得空集在 中,并且只要 是 的成员,则 与它的单元素集合 此兩者的并集也是 的成员。这种集合有时也叫做归纳集合。归纳集合是带有如下性质的集合 :对于所有 , 的后继 也是 的一个元素。
解释编辑
要理解这个公理,首先我们要定义 的后继为 。注意配对公理允许我们形成单元素集合 。后继是用来定义自然数的常用的集合论编码。在这种编码中,0是空集( ),而1是0的后继:
类似地,2 是1 的后继:
如此类推。这个定义的推论是對於任何自然數 , 等同于由它的所有前驱(predecessor)組成的集合。
我们希望可以形成包含所有自然数的一個集合,但是只使用其他ZF公理的話並不能做到這一點。因此,有必要加入无穷公理以假定这个集合的存在。它是通过类似于数学归纳法的方法完成的:首先假定有一个集合 包含零,并接着規定对于 的所有元素,这个元素的后继也在 中。
这个集合 可以不只是包含自然数,還包含別的元素。但是我们可以应用分类公理模式来除去不想要的元素,留下所有自然数的集合 。通过外延公理可知这个集合是唯一的。应用分类(分离)公理的结果是:
用非形式化的語言陳述:所有自然数的集合存在;这里的自然数要么是零,要么是一个自然數k的后继,并且 的每个元素要么是0要么是 的另外一个元素的后继。
所以这个公理的本质是:
- 有一个集合包含所有的自然数。
无穷公理也是von Neumann-Bernays-Gödel 公理之一。
引用编辑
- ^ Zermelo: Untersuchungen über die Grundlagen der Mengenlehre, 1907, in: Mathematische Annalen 65 (1908), 261-281; Axiom des Unendlichen p. 266f.
延伸阅读编辑
- Paul Halmos (1960) Naive set theory. Princeton, NJ: D. Van Nostrand Company. Reprinted 1974 by Springer-Verlag. ISBN 0-387-90092-6.
- Thomas Jech (2003) Set Theory: The Third Millennium Edition, Revised and Expanded. Springer-Verlag. ISBN 3-540-44085-2.
- Kenneth Kunen (1980) Set Theory: An Introduction to Independence Proofs. Elsevier. ISBN 0-444-86839-9.
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