尺规作图
僅以圓規和無刻度直尺繪製幾何物件
尺规作图(英语:Compass-and-straightedge 或 ruler-and-compass construction)是起源于古希腊的数学课题。只使用圆规和直尺,并且只准许使用有限次,来解决不同的平面几何作图题。
值得注意的是,以上的“直尺”和“圆规”是抽象意义的,跟現實中的並非完全相同,具体而言,有以下的限制:
尺规作图的研究,促成数学上多个领域的发展。有些数学结果就是为解决古希腊三大名题而得出的副产品,对尺规作图的探索推动了对圆锥曲线的研究,并发现了一批著名的曲线。
若干著名的尺规作图已知是不可能的,而当中很多不可能的例子是利用了19世纪出现的伽罗瓦理論以证明。尽管如此,仍有很多业余者尝试这些不可能的题目,当中以化圆为方及三等分任意角(Angle trisection)最受注意。
原理编辑
作圖公法编辑
以下是尺規作圖中可用的基本方法,也稱為作圖公法,任何尺規作圖的步驟均可分解為以下五種方法:
- 通過兩個已知點可作一直線。
- 已知圓心和半徑可作一個圓。
- 若兩已知直線相交,可得其交點。
- 若已知直線和一已知圓相交,可得其交點。
- 若兩已知圓相交,可得其交點。
問題编辑
古希臘三大難题编辑
古希臘三大難题是早期希臘数学家特别感兴趣的三个问题。由于我们的现代几何学知识是从希臘发源的,因此这三个古典几何问题在几何学中有着很高的地位。它们分别是:
- 化圆为方問題
- 求一个正方形的边长,使其面积与一已知圆的相等;
- 三等分角問題
- 求一角,使其角度是一已知角度的三分之一(可以用只有一點刻度的直尺與圓規作出)
- 倍立方問題
- 求一立方体的棱长,使其体积是一已知立方体的二倍(可以用木工的角尺作出)。
在欧几里得几何学的限制下,以上三个问题都不可能解决。
正多边形作法编辑
- 只使用直尺和圆规,作正五边形。
- 只使用直尺和圆规,作正六边形。
- 只使用直尺和圆规,作正七边形——这个看上去非常简单的题目,曾经使许多著名数学家都束手无策,而現在正七边形已被證明是不能由尺规作出的。
- 只使用直尺和圆规,作正九边形,此图也不能作出来,因為單用直尺和圓規,是不足以把一个角分成三等份的。
- 问题的解决:高斯大学二年级时得出正十七边形的尺规作图法,并给出了可用尺规作图的正多边形的充分条件:尺规作图正多边形的边数目必须是2的非負整數次方乘以任意个(可为0个)不同的费马素数的积,解决了兩千年来悬而未决的难题。
- 1832年,Richelot與Schwendewein給出正257邊形的尺規作法。
- 1900年左右,约翰·古斯塔夫·爱马仕花費十年的功夫用尺規作圖作出正65537邊形,他的手稿裝滿一大皮箱,可以說是最複雜的尺規作圖。
四等分圆周编辑
這道題只准许使用圆规,要求參與者将一个已知圆心的圆周4等分。這道題传言是拿破仑·波拿巴擬出,向全法国数学家挑战的。這道題已被證明有解。
延伸编辑
圓規作圖编辑
- 1672年,喬治·莫爾(Georg Mohr)证明:如果把“作直线”解释为“作出直线上的2点”,那么凡是尺规能作的,单用圆规也能作出,拿破崙問題就是一個例子。
直尺作圖编辑
- 只用直尺所能作的圖其實不多,但在已知一个圆和其圆心的情况下,那么凡是尺规能作的,单用直尺也能作出。
生鏽圓规(即半径固定的圆规)作图编辑
- 生锈圆规作图,已知两点 、 ,找出一点 使得 。
- 已知两点 、 ,只用半径固定的圆规,求作 使 是线段 的中点。
- 尺规作图,是古希臘人按“盡可能简单”这个思想出发的,能更简洁的表达吗?顺着这思路就有了更简洁的表达。
- 10世纪时,有数学家提出用直尺和半径固定的圆规作图。
- 從給定的兩點出發時,生鏽圓規作圖完全等價於尺規作圖。
- 但是,「從給定的兩點出發」這一條件必不可少,在有多個已知點的條件下,鏽規作圖的能力還有待研究。
二刻尺作图编辑
允许使用长度等于1的线段编辑
- 已知两条线段AB、AC,可以作出一条线段的长度等于两条线段长度之乘积AB×AC。
外部連結编辑
尺規作圖的程式编辑
- C.a.R. (页面存档备份,存于互联网档案馆) -Java程式
- GRACE (页面存档备份,存于互联网档案馆) -在線Java程式
- Geometric Drawing Pad-在線Java程式
- Ruler & compass (页面存档备份,存于互联网档案馆) -在線程式
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