拿破崙問題
拿破崙問題(Napoleon's problem)是著名的圓規作圖問題,原題如下:
給定一圓和其圓心,只用圓規將此圓四等分。(此圓指的是圓周而不是圓面積)
此題目是由義大利數學家洛倫佐·馬斯凱羅尼向拿破崙·波拿巴提出的問題,但我們不知道他是否有解出這個問題。此題目後來又更加進化,變成只給定一圓,只用圓規將此圓四等分,在這種情況必須先用圓規作圖找到圓心。以上兩種都被稱為拿破崙問題。
找出圓心编辑
作法编辑
- 在已知的圓 上找任意一點 A,以任意半徑畫弧 (必須和圓 有交點,长度最好差不多有半圆那么长,方便第三步作图),交圓 於 B'、B 兩點。
- 分别以B'、B為圓心, 、 為半徑,畫兩条弧 ,兩弧线相交於 A 点和 C 點。
- 再以 C 点為圓心、 為半徑,畫弧 ,交弧 於 D'、D兩點。
- 以D'、D為圓心, 、 為半徑,畫兩条弧 ,兩弧线相交於A点和O点。(O点即圓 的圓心)
證明编辑
設圓 的半徑為 ,圓 的半徑為 ,我們知道:
因為 ,所以
由於 ,可以得出
根據對稱性, 通過圓心,又 ,所以 是圓 的圓心。
四等分圓编辑
作法编辑
由前面我們已經知道圓心的位置
- 在已知的圓上找任意一點 ,以 為半徑畫弧 ,交圓於 、 兩點。
- 以 為圓心, 為半徑畫弧 ,交圓於 点(和 點)。
- (继续分别以 、 為圓心, 、 為半徑畫弧,即可將圓六等分,) 、 、 、 為四个六等分點(如圖)。
- 以 為圓心, 為半徑畫弧 ;以 為圓心, 為半徑畫弧 ,兩弧交於 點。
- 以 為圓心,取 的长度 為半徑畫弧 ,交圓於 、 兩點。
- 、 、 、 四點將圓四等分。
證明编辑
設圓的半徑為 ,容易得出 、 、 、 、 、 、 的長度都是 ,可以得出 ,根據畢氏定理可以得出 ,因此 、 、 、 四點將圓四等分。
參見编辑
註解编辑
參考資料编辑
- Napoleon's Problem (页面存档备份,存于互联网档案馆)MathWorld
- 拿破崙分圓
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