除以零

基本算術中，除法指將一個集合中的物件分成若干等份。例如，${\displaystyle 10}$ 個蘋果平分給${\displaystyle 5}$ 人，每人可得${\displaystyle {\frac {10}{5}}=2}$ 個蘋果。同理，${\displaystyle 10}$ 個蘋果只分給${\displaystyle 1}$ 人，則其可獨得${\displaystyle {\frac {10}{1}}=10}$ 個蘋果。

若除以${\displaystyle 0}$ 又如何？若有${\displaystyle 10}$ 顆蘋果，無人（${\displaystyle 0}$ 解作沒有）來分，每「人」可得多少蘋果？問題本身是無意義的，因根本無人來，論每「人」可得多少，根本多餘。因此，${\displaystyle {\frac {10}{0}}}$ ，在基本算術中，是無意義或未下定義的。

另種解釋是將除法理解為不斷的減法。例如「${\displaystyle 13}$ 除以${\displaystyle 5}$ 」，換一種說法，${\displaystyle 13}$ 減去兩個${\displaystyle 5}$ ，餘下${\displaystyle 3}$ ，即被除數一直減去除數直至餘數數值低於除數，算式為${\displaystyle {\frac {13}{5}}=2}$ 餘數${\displaystyle 3}$ 。若某數除以零，就算不斷減去零，餘數也不可能小於除數，使得算式與無窮拉上關係，超出基本算術的範疇。此解釋也有一問題，即為無窮大乘以零仍是零。

早期嘗試编辑

婆羅摩笈多（598–668年）的著作《婆羅摩曆算書（英语：Brahmasphutasiddhanta）》被視為最早討論零的數學和定義涉及零的算式的文本。但當中對除以零的論述並不正確，根據婆羅摩笈多所說，

830年，另一位數學家摩訶吠羅（英语：Mahāvīra (mathematician)）在其著作《Ganita Sara Samgraha》試圖糾正婆羅摩笈多的錯誤，但不成功：

婆什迦羅第二嘗試解決此問題，答案是讓${\displaystyle {\frac {n}{0}}=\infty }$ 。雖然此定義有一定道理，但會導致一个悖論：${\displaystyle 0\times \infty }$ 的结果可以是任意一个数，所以所有的数都是相同的。^[1]

在微積分和数学分析中，像${\displaystyle 0\times \infty }$ 或${\displaystyle {\frac {0}{0}}}$ 這一類極限稱為不定型。不定型是可以計算的，結果可能是任意数。

若某數學系統遵從域的公理，則在該數學系統內除以零必須為沒有意義。這是因為除法被定義為是乘法的逆向操作，即${\displaystyle {\frac {a}{b}}}$ 值是方程${\displaystyle bx=a}$ 中${\displaystyle x}$ 的解（若有的話）。若設${\displaystyle b=0}$ ，方程式${\displaystyle bx=a}$ 可寫成${\displaystyle 0\times x=a}$ 或直接${\displaystyle 0=a}$ 。因此，方程式${\displaystyle bx=a}$ 沒有解（当${\displaystyle a\neq 0}$ 时），但${\displaystyle x}$ 是任何數值也可解此方程（当${\displaystyle a=0}$ 时）。在各自情況下均沒有獨一無二的數值，所以${\displaystyle {\frac {a}{b}}}$ 未能下定義。

除以零的謬誤编辑

在代數運算中不當使用除以零可得出無效證明：${\displaystyle 2=1}$

式：

${\displaystyle 0a=0}$

試：

${\displaystyle a=1}$ ：正確

${\displaystyle a=2}$ ：正確

得出：

${\displaystyle 0\times 1=0\times 2}$

除以零得出

${\displaystyle {\frac {0}{0}}\times 1=2}$

簡化，得出：

${\displaystyle 1=2\,}$

以上謬論假設，某數除以0是容許的，並且${\displaystyle {\frac {0}{0}}=1}$ 。

另一个简洁的证明

設${\displaystyle a=b}$ ，則 $${\displaystyle a^{2}=ab}$$ 兩邊同時减去${\displaystyle b^{2}}$ ，由平方差公式得 $${\displaystyle (a+b)(a-b)=b(a-b)}$$ 兩邊除以${\displaystyle (a-b)}$ ， $${\displaystyle a+b=b}$$ 故${\displaystyle a=0}$ 。

通过上面的過程，证明了一切数字等于${\displaystyle 0}$ 。此謬論是由於簡化的过程不正確，計算過程使用了「除以零」。

因為${\displaystyle (a-b)}$ 是零，所以不能夠把左右兩邊的${\displaystyle (a-b)}$ 刪去。

虛假的除法编辑

在矩陣代數或線性代數中，可定義一種虛假的除法，設${\displaystyle {\frac {a}{b}}=ab^{+}}$ ，當中${\displaystyle b^{+}}$ 代表${\displaystyle b}$ 的虛構倒數。這樣，若${\displaystyle b^{-}}$ 存在，則${\displaystyle b^{+}=b^{-}}$ 。若${\displaystyle b=0}$ ，則${\displaystyle 0^{+}=0}$ ；參見广义逆。

扩展的实数轴编辑

表面看來，可以藉着考慮隨着${\displaystyle b}$ 趨向${\displaystyle 0}$ 的${\displaystyle {\frac {a}{b}}}$ 來定義「除以零」。

對於任何正數${\displaystyle a}$ ，右極限是

${\displaystyle \lim _{b\to 0^{+}}{a \over b}={+}\infty }$

另一方面，左極限是

${\displaystyle \lim _{b\to 0^{-}}{a \over b}={-}\infty }$

由於左極限及右極限不相同，因此函數在${\displaystyle x=0}$ 的極限不存在，該點沒有定義。同樣地，若${\displaystyle a}$ 是負數，極限也不存在。

如果分子及分母均為零或趨向零，則可使用洛必達法則計算。

不定型極限编辑

不定型（Indeterminate Form）的極限可透過四则运算或洛必達法則計算。

考慮函數${\displaystyle f(x)={\frac {x^{2}-9}{x-3}}}$

如果直接代入${\displaystyle x=3}$ ，會得到零除以零，這是沒有意義的。

${\displaystyle f(3)={\frac {3^{2}-9}{3-3}}={\frac {0}{0}}}$

但透過約簡分子及分母，該點的極限是可以計算的。

${\displaystyle \lim _{x\to 3}{\frac {x^{2}-9}{x-3}}=\lim _{x\to 3}{\frac {(x+3)(x-3)}{x-3}}=\lim _{x\to 3}x+3=6}$

此外，函數的極限可透過洛必達法則計算。

${\displaystyle \lim _{x\to c}{\frac {f(x)}{g(x)}}=\lim _{x\to c}{\frac {f'(x)}{g'(x)}}}$

若隨着${\displaystyle x}$ 趨向${\displaystyle 0}$ ，${\displaystyle f(x)}$ 與${\displaystyle g(x)}$ 均趨向${\displaystyle 0}$ ，該極限可等於任何實數或無限，或者根本不存在，視乎${\displaystyle f}$ 及${\displaystyle g}$ 是何函數。

形式推算编辑

運用形式推算（英语：formal calculation），正號、負號或沒有正負號因情況而定，除以零定義為：

${\displaystyle \lim \limits _{x\to 0}{{\frac {1}{x}}={\frac {\lim \limits _{x\to 0}{1}}{\lim \limits _{x\to 0}{x}}}}=\infty .}$

黎曼球编辑

集合${\displaystyle \mathbb {C} \cup \{\infty \}}$ 為黎曼球（Riemann sphere），在複分析中相當重要。

在计算机中，除以零的结果根据编程语言、软硬件环境、数据类型、数值而不同。部分语言中，无论是整数还是浮点数，除以0均会产生异常，而在另一部分语言中，整数除以零会产生异常或未定义行为，而浮点数除以零的结果如下：

• 零与NaN除以零：NaN（注：NaN不等于NaN）
• 零与NaN以外的数除以符号相同的0（如1除以0）：正无穷大
• 零与NaN以外的数除以符号不同的0（如1除以-0、-1除以0）：负无穷大

• Patrick Suppes（英语：Patrick Suppes） 1957 (1999 Dover edition), Introduction to Logic, Dover Publications, Inc., Mineola, New York. ISBN 0-486-40687-3 (pbk.).

• Charles Seife 2000, Zero: The Biography of a Dangerous Idea, Penguin Books, NY, ISBN 0 14 02.9647 6 (pbk.).

• Alfred Tarski 1941 (1995 Dover edition), Introduction to Logic and to the Methodology of Deductive Sciences, Dover Publications, Inc., Mineola, New York. ISBN 0-486-28462-X (pbk.).

• Jakub Czajko (July 2004) "
  On Cantorian spacetime over number systems with division by zero
  ", Chaos, Solitons and Fractals, volume 21, number 2, pages 261–271.

维基新闻中的相关報導：British computer scientist's new "nullity" idea provokes reaction from mathematicians

• Ben Goldacre. Maths Professor Divides By Zero, Says BBC. 2006-12-07 [2008-04-23]. （原始内容存档于2008-05-27）. 

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