偏序关系

非严格偏序，自反偏序编辑

给定集合S，“≤”是S上的二元关系，若“≤”满足：

1. 自反性：∀a∈S，有a≤a；
2. 反对称性：∀a，b∈S，a≤b且b≤a，则a=b；
3. 传递性：∀a，b，c∈S，a≤b且b≤c，则a≤c；

则称“≤”是S上的非严格偏序或自反偏序。

严格偏序，反自反偏序编辑

给定集合S，“＜”是S上的二元关系，若“＜”满足：

1. 反自反性：∀a∈S，有a≮a；
2. 反对称性：∀a，b∈S，a＜b ⇒ b≮a；
3. 传递性：∀a，b，c∈S，a＜b且b＜c，则a＜c；

则称“＜”是S上的严格偏序或反自反偏序。

严格偏序与有向无环图（DAG）有直接的对应关系。一个集合上的严格偏序的关系图就是一个有向无环图。其传递闭包是它自己。

偏序编辑

容易证明以下结论：

• 给定集合S上的一个（非严格，自反）偏序「≤」，则可自然地诱导出S上的一个（严格，反自反）偏序「<」，只需如此定义：a < b，如果 a ≤ b 且 a ≠ b。
• 给定集合S上的一个（严格，反自反）偏序「<」，则可自然地诱导出S上的一个（非严格，自反）偏序「≤」，只需如此定义：a ≤ b，如果 a < b 或 a = b。
• 给定集合S上的一个（非严格，自反）偏序「≤」，其逆关系「≥」也是S上的一个（非严格，自反）偏序；
• 给定集合S上的一个（严格，反自反）偏序「<」，其逆关系「>」也是S上的一个（严格，反自反）偏序；

由上述可知，只要定义了「≤」、「<」、「≥」、「>」中的任何一个，其余三个关系的定义可以自然诱导而出，这四种关系实际上可以看成一体。故此在不严格区分的情况下，只需定义其一即可（通常是「≤」），称之为集合S上的偏序关系。（“偏序关系”通常被用来称呼非严格偏序关系。）

• （非严格，自反）偏序和（严格，反自反）偏序之间的对应关系不同于在（非严格）弱序和严格弱序直接的对应（逆关系的补集）。只有对于全序这些对应才是相同的。

偏序集与序对偶编辑

若集合S上定义了一个偏序，则S称为偏序集（poset）；若将其上的偏序关系改为其逆关系，得到的新偏序集S'称为S的序对偶。

虽然通常术语“有序集”用来称呼全序集，但当上下文中不涉及其他序关系时，“有序集”也可用于称呼偏序集。

完全性编辑

下面是一些主要的例子：

• 自然数的集合配备了它的自然次序（小于等于关系）。这个偏序是全序。

• 整数的集合配备了它的自然次序。这个偏序是全序。

• 自然数的集合的有限子集{1, 2, ..., n}。这个偏序是全序。

• 自然数的集合配备了整除关系。

• 给定集合的子集的集合（它的幂集）按包含排序。

• 向量空间的子空间的集合按包含来排序。

一般的说偏序集合的两个元素x和y可以处于四个相互排斥的关联中任何一个：要么x < y，要么x = y，要么x > y，要么x和y是“不可比较”的（三个都不是）。全序集合是用规则排除第四种可能的集合：所有元素对都是可比较的，并且声称三分法成立。自然数、整数、有理数和实数都关于它们代数（有符号）大小是全序的，而复数不是。这不是说复数不能全序排序；比如我们可以按词典次序排序它们，通过x+iy < u+iv当且仅当x < u或(x = u且y < v)，但是这种排序没有合理的大小意义因为它使得1大于100i。按绝对大小排序它们产生在其中所有对都是可比较的预序，但这不是偏序因为1和i有相同的绝对大小但却不相等，违反了反对称性。

全序T是偏序P的线性扩展，只要x ≤ y在P中成立则x ≤ y在T中也成立。在计算机科学中，找到偏序的线性扩展的算法叫做拓扑排序。

• 二元关系
• 全序关系
• 预序关系

• J. V. Deshpande, On Continuity of a Partial Order, Proceedings of the American Mathematical Society, Vol. 19, No. 2, 1968, pp. 383-386