运算律 编辑
加法和乘法存在交换律 ,比如: 2 + 3 = 5 = 3 + 2 {\displaystyle 2+3=5=3+2} , 2 × 3 = 6 = 3 × 2 {\displaystyle 2\times 3=6=3\times 2} ,但是幂的运算不存在交换律, 2 3 = 8 {\displaystyle 2^{3}=8} ,但是 3 2 = 9 {\displaystyle 3^{2}=9} 。
同样,加法和乘法存在结合律 ,比如: ( 2 + 3 ) + 4 = 9 = 2 + ( 3 + 4 ) {\displaystyle (2+3)+4=9=2+(3+4)} , ( 2 × 3 ) × 4 = 24 = 2 × ( 3 × 4 ) {\displaystyle (2\times 3)\times 4=24=2\times (3\times 4)} 。不過,冪運算沒有結合律: ( 2 3 ) 4 = 8 4 = 4096 {\displaystyle (2^{3})^{4}=8^{4}=4096} ,而 2 ( 3 4 ) = 2 81 = 2 , 417 , 851 , 639 , 229 , 258 , 349 , 412 , 352 {\displaystyle 2^{(3^{4})}=2^{81}=2,417,851,639,229,258,349,412,352} ,所以 ( 2 3 ) 4 ≠ 2 ( 3 4 ) {\displaystyle (2^{3})^{4}\neq 2^{(3^{4})}} 。
但是冪運算仍然有其運算律,稱為指數律 :
a m ⋅ a n = a m + n {\displaystyle a^{m}\cdot a^{n}=a^{m+n}} a m a n = a m − n {\displaystyle {\frac {a^{m}}{a^{n}}}=a^{m-n}} ( a m ) n = a m n {\displaystyle (a^{m})^{n}=a^{mn}} a m n = a m n {\displaystyle {\sqrt[{n}]{a^{m}}}=a^{\frac {m}{n}}} a n ⋅ b n = ( a ⋅ b ) n {\displaystyle a^{n}\cdot b^{n}=(a\cdot b)^{n}} a n b n = ( a b ) n {\displaystyle {\frac {a^{n}}{b^{n}}}=\left({\frac {a}{b}}\right)^{n}} 整数指数幂 编辑
整数指数幂的运算只需要初等代数 的知识。
正整数指数幂 编辑 表达式 a 2 = a ⋅ a {\displaystyle a^{2}=a\cdot a} 被称作 a {\displaystyle a} 的平方 ,因为边长为 a {\displaystyle a} 的正方形面积是 a 2 {\displaystyle a^{2}} 。
表达式 a 3 = a ⋅ a ⋅ a {\displaystyle a^{3}=a\cdot a\cdot a} 被称作 a {\displaystyle a} 的立方 ,因为邊长为 a {\displaystyle a} 的正方体体积是 a 3 {\displaystyle a^{3}} 。
所以 3 2 {\displaystyle 3^{2}} 读作「3的平方」, 2 3 {\displaystyle 2^{3}} 读作「2的立方」。
指数表示的是底数反复相乘多少次。比如 3 5 = 3 × 3 × 3 × 3 × 3 = 243 {\displaystyle 3^{5}=3\times 3\times 3\times 3\times 3=243} ,指数是5,底数是3,表示3反复相乘5次。
或者,整数指数幂可以递归 地定义成:
a n = { 1 ( n = 0 ) a ⋅ a n − 1 ( n > 0 ) ( 1 a ) − n ( n < 0 ) {\displaystyle a^{n}={\begin{cases}1&(n=0)\\a\cdot a^{n-1}&(n>0)\\\left({\frac {1}{a}}\right)^{-n}&(n<0)\end{cases}}} 指数是1或者0 编辑 注意 3 1 {\displaystyle 3^{1}} 表示仅仅1个3的乘积,就等于3。
注意 3 5 = 3 × 3 4 {\displaystyle 3^{5}=3\times 3^{4}} , 3 4 = 3 × 3 3 {\displaystyle 3^{4}=3\times 3^{3}} , 3 3 = 3 × 3 2 {\displaystyle 3^{3}=3\times 3^{2}} , 3 2 = 3 × 3 1 {\displaystyle 3^{2}=3\times 3^{1}} ,
继续,得到 3 1 = 3 × 3 0 = 3 {\displaystyle 3^{1}=3\times 3^{0}=3} ,所以 3 0 = 1 {\displaystyle 3^{0}=1}
另一个得到此结论的方法是:通过运算法则 x n x m = x n − m {\displaystyle {\frac {x^{n}}{x^{m}}}=x^{n-m}}
当 m = n {\displaystyle m=n} 时, 1 = x n x n = x n − n = x 0 {\displaystyle 1={\frac {x^{n}}{x^{n}}}=x^{n-n}=x^{0}}
零的零次方 编辑 0 0 {\displaystyle 0^{0}} 其实还并未被数学家完整的定义,但部分看法是 0 0 = 1 {\displaystyle 0^{0}=1} ,在程式语言中(python) 0 ∗ ∗ 0 = 1 {\displaystyle 0**0=1}
在这里给出这一种极限的看法
lim x → 0 + x x = 0 0 {\displaystyle \lim _{x\to 0^{+}}x^{x}=0^{0}} 于是,可以求出 x 取值从 1 到 0.0000001 计算得到的值,如图
负数指数 编辑 我们定义任何不为 0 的数 a 的 -1 次方等于它的倒数。
a − 1 = 1 a {\displaystyle a^{-1}={\frac {1}{a}}} 对于非零 a {\displaystyle a} 定义
a − n = 1 a n {\displaystyle a^{-n}={\frac {1}{a^{n}}}} ,而 a = 0 {\displaystyle a=0} 时分母為 0 没有意义。
证法一:
根据定义 a m ⋅ a n = a m + n {\displaystyle a^{m}\cdot a^{n}=a^{m+n}} ,当 m = − n {\displaystyle m=-n} 时
a − n a n = a − n + n = a 0 = 1 , {\displaystyle a^{-n}\,a^{n}=a^{-n\,+\,n}=a^{0}=1,} 得 a − n a n = 1 {\displaystyle a^{-n}\,a^{n}=1} , 所以 a − n = 1 a n {\displaystyle a^{-n}={\frac {1}{a^{n}}}} 。
证法二:
通过运算法则 a m a n = a m − n {\displaystyle {\frac {a^{m}}{a^{n}}}=a^{m-n}}
当 m = 0 {\displaystyle m=0} 时,可得 a − n = a 0 − n = a 0 a n = 1 a n {\displaystyle a^{-n}=a^{0-n}={\frac {a^{0}}{a^{n}}}={\frac {1}{a^{n}}}}
负数指数 a − n {\displaystyle a^{-n}} 还可以表示成1 连续除以 n {\displaystyle n} 个 a {\displaystyle a} 。比如:
3 − 4 = 1 3 3 3 3 = 1 81 = 1 3 4 {\displaystyle 3^{-4}={\frac {\frac {\frac {\frac {1}{3}}{3}}{3}}{3}}={\frac {1}{81}}={\frac {1}{3^{4}}}} .特殊数的幂 编辑 10的幂 编辑 在十进制 的计数系统中,10的幂写成1后面跟着很多个0。例如: 10 3 = 1000 , 10 − 3 = 0.001 {\displaystyle 10^{3}=1000,\ 10^{-3}=0.001}
因此10的幂用来表示非常大或者非常小的数字。如:299,792,458(真空中光速 ,单位是米每秒 ),可以写成 2.99792458 × 10 8 {\displaystyle 2.99792458\times 10^{8}} ,近似值 2.998 × 10 8 {\displaystyle 2.998\times 10^{8}} 或 3 × 10 8 {\displaystyle 3\times 10^{8}}
国际单位制词头 也使用10的幂来描述特别大或者特别小的数字,比如:词头“千”就是 10 3 {\displaystyle 10^{3}} ,词头“毫”就是 10 − 3 {\displaystyle 10^{-3}}
2的幂 编辑 1的幂 编辑 1的任何次幂都为1。
0的幂 编辑 0的正数幂都等于0。
0的负数幂没有定义。
任何非0之数的0次方都是1;而0的0次方 是懸而未決的,某些領域下常用的慣例是約定為1。[3] 但某些教科書表示0的0次方為無意義。[4] 也有人主張定義為1。
负1的幂 编辑 -1的奇数幂等于-1
-1的偶数幂等于1
指数非常大时的幂 编辑 一个大于1的数的幂趋于无穷大 ,一个小于-1的数的幂趋于负无穷大
当 a > 1 {\displaystyle a>1} , n → ∞ {\displaystyle n\to \infty } , a n → ∞ {\displaystyle a^{n}\to \infty } 当 a < − 1 {\displaystyle a<-1} , n → ∞ {\displaystyle n\to \infty } , a n → − ∞ {\displaystyle a^{n}\to -\infty } 或 ∞ {\displaystyle \infty } , (視乎n 是奇數或偶數) 一个绝对值小于1的数的幂趋于0
当 | a | < 1 {\displaystyle |a|<1} , n → ∞ {\displaystyle n\to \infty } , a n → 0 {\displaystyle a^{n}\to 0} 1的幂永远都是1
当 a = 1 {\displaystyle a=1} , n → ∞ {\displaystyle n\to \infty } , a n → 1 {\displaystyle a^{n}\to 1} 如果数a 趋于1而它的幂趋于无穷,那么极限并不一定是上面几个。一个很重要的例子是:
当 n → ∞ , ( 1 + 1 n ) n → e {\displaystyle n\to \infty ,\left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{n}\to e} 参见e的幂
其他指数的极限参见幂的极限
正实数的实数幂 编辑
一个正实数的实数 幂可以通过两种方法实现。
有理数 幂可以通过N次方根 定义,任何非0实数次幂都可以这样定义自然对数 可以被用来通过指数函数定义实数幂N次方根 编辑 从上到下: x 1 8 , x 1 4 , x 1 2 , x 1 , x 2 , x 4 , x 8 {\displaystyle x^{\frac {1}{8}},\ x^{\frac {1}{4}},\ x^{\frac {1}{2}},\ x^{1},\ x^{2},\ x^{4},\ x^{8}} 一个数 a {\displaystyle a} 的 n {\displaystyle n} 次方根是 x {\displaystyle x} , x {\displaystyle x} 使 x n = a {\displaystyle x^{n}=a} 。
如果 a {\displaystyle a} 是一个正实数, n {\displaystyle n} 是正整数,那么方程 x n = a {\displaystyle x^{n}=a} 只有一个正实数根 。这个根被称为 a {\displaystyle a} 的 n {\displaystyle n} 次方根,记作: a n {\displaystyle {\sqrt[{n}]{a}}} ,其中 {\displaystyle {\sqrt {\ }}} 叫做根号。或者, a {\displaystyle a} 的 n {\displaystyle n} 次方根也可以写成 a 1 n {\displaystyle a^{\frac {1}{n}}} .例如 4 1 2 = 2 , 8 1 3 = 2 {\displaystyle 4^{\frac {1}{2}}=2,\ 8^{\frac {1}{3}}=2}
当指数是 1 2 {\displaystyle {\frac {1}{2}}} 时根号上的2可以省略,如: 4 = 4 1 2 = 4 2 = 2 {\displaystyle {\sqrt {4}}=4^{\frac {1}{2}}={\sqrt[{2}]{4}}=2}
有理数幂 编辑 有理数指数幂定义为
a m n = ( a m ) 1 n = a m n {\displaystyle a^{\frac {m}{n}}=(a^{m})^{\frac {1}{n}}={\sqrt[{n}]{a^{m}}}} e的幂 编辑 这个重要的数学常数e ,有时叫做欧拉数 ,近似2.718,是自然对数 的底。它提供了定义非整数指数幂的一个方法。它是从以下极限定义的:
e = lim n → ∞ ( 1 + 1 n ) n {\displaystyle e=\lim _{n\to \infty }\left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{n}} 指数函数 的定义是:
e x = lim n → ∞ ( 1 + x n ) n {\displaystyle e^{x}=\lim _{n\to \infty }\left(1+{\frac {x}{n}}\right)^{n}} 可以很简单地证明e 的正整数k 次方 e k {\displaystyle e^{k}} 是:
e k = [ lim n → ∞ ( 1 + 1 n ) n ] k {\displaystyle e^{k}=\left[\lim _{n\to \infty }\left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{n}\right]^{k}} = lim n → ∞ [ ( 1 + 1 n ) n ] k {\displaystyle =\lim _{n\to \infty }\left[\left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{n}\right]^{k}} = lim n → ∞ ( 1 + k n ⋅ k ) n ⋅ k {\displaystyle =\lim _{n\to \infty }\left(1+{\frac {k}{n\cdot k}}\right)^{n\cdot k}} = lim n ⋅ k → ∞ ( 1 + k n ⋅ k ) n ⋅ k {\displaystyle =\lim _{n\cdot k\to \infty }\left(1+{\frac {k}{n\cdot k}}\right)^{n\cdot k}} = lim m → ∞ ( 1 + k m ) m {\displaystyle =\lim _{m\to \infty }\left(1+{\frac {k}{m}}\right)^{m}} 实数指数幂 编辑 y = bx 對各種底數b的圖像,分別為綠色的10、紅色的e、藍色的2和青色的1/2。因为所有实数 可以近似地表示为有理数,任意实数指数x 可以定义成[5] :
b x = lim r → x b r , {\displaystyle b^{x}=\lim _{r\to x}b^{r},} 例如:
x ≈ 1.732 {\displaystyle x\approx 1.732} 于是
5 x ≈ 5 1.732 = 5 433 250 = 5 433 250 ≈ 16.241 {\displaystyle 5^{x}\approx 5^{1.732}=5^{\frac {433}{250}}={\sqrt[{250}]{5^{433}}}\approx 16.241} 实数指数幂通常使用对数来定义,而不是近似有理数。
自然对数 ln x {\displaystyle \ln {x}} 是指数函数 e x {\displaystyle e^{x}} 的反函数 。它的定义是:对于任意 b > 0 {\displaystyle b>0} ,满足
b = e ln b {\displaystyle b=e^{\ln b}} 根据对数和指数运算的规则:
b x = ( e ln b ) x = e x ⋅ ln b {\displaystyle b^{x}=(e^{\ln b})^{x}=e^{x\cdot \ln b}} 这就是实数指数幂的定义:
b x = e x ⋅ ln b {\displaystyle b^{x}=e^{x\cdot \ln b}\,} 实数指数幂 b x {\displaystyle b^{x}} 的这个定义和上面使用有理数指数和连续性的定义相吻合。对于复数,这种定义更加常用。
负实数的实数幂 编辑 正实数的复数幂 编辑
e的虚数次幂 编辑 指数函数 e z 可以通过(1 + z /N )N 当N 趋于无穷大时的极限 来定义,那么e iπ 就是(1 + iπ /N )N 的极限。在这个动画中n 从1取到100。(1 + iπ /N )N 的值通过N 重复增加在复数平面上展示,最终结果就是(1 + iπ /N )N 的准确值。可以看出,随着N 的增大,(1 + iπ /N )N 逐渐逼近极限-1。这就是欧拉公式 。複數 运算的几何意义和e 的幂 可以帮助我们理解 e i x {\displaystyle e^{ix}} ( x {\displaystyle x} 是实数),即純虛數指數函數 。想象一个直角三角形 ( 0 , 1 , 1 + i x n ) {\displaystyle (0,1,1+{\frac {ix}{n}})} (括号内是复数平面内三角形的三个顶点 ),对于足够大的 n {\displaystyle n} ,这个三角形可以看作一个扇形 ,这个扇形的中心角就等于 x n {\displaystyle {\frac {x}{n}}} 弧度 。对于所有 k {\displaystyle k} ,三角形 ( 0 , ( 1 + i x n ) k , ( 1 + i x n ) k + 1 ) {\displaystyle (0,(1+{\frac {ix}{n}})^{k},(1+{\frac {ix}{n}})^{k+1})} 互为相似三角形 。所以当 n {\displaystyle n} 足够大时 ( 1 + i x n ) n {\displaystyle (1+{\frac {ix}{n}})^{n}} 的极限是复数平面上的单位圆 上 x {\displaystyle x} 弧度的点。这个点的极坐标 是 ( r , θ ) = ( 1 , x ) {\displaystyle (r,\theta )=(1,x)} ,直角坐标 是 ( cos x , sin x ) {\displaystyle (\cos x,\sin x)} 。所以 e i x = cos x + i sin x {\displaystyle e^{ix}=\cos x+i\sin x} ,而這個函數可以稱為純虛數指數函數 。这就是欧拉公式 ,它通过複數 的意义将代数学 和三角学 联系起来了。
等式 e z = 1 {\displaystyle e^{z}=1} 的解是一个整数乘以 2 i π {\displaystyle 2i\pi } [6] :
{ z : e z = 1 } = { 2 k π i : k ∈ Z } . {\displaystyle \{z:e^{z}=1\}=\{2k\pi i:k\in \mathbb {Z} \}.} 更一般地,如果 e b = a {\displaystyle e^{b}=a} ,那么 e z = a {\displaystyle e^{z}=a} 的每一个解都可以通过将 2 i π {\displaystyle 2i\pi } 的整数倍加上 b {\displaystyle b} 得到:
{ z : e z = a } = { b + 2 k π i : k ∈ Z } . {\displaystyle \{z:e^{z}=a\}=\{b+2k\pi i:k\in \mathbb {Z} \}.} 这个复指数函数是一个有周期 2 i π {\displaystyle 2i\pi } 的周期函数 。
更简单的: e i π = − 1 ; e x + i y = e x ( cos y + i sin y ) {\displaystyle e^{i\pi }=-1;\ e^{x+iy}=e^{x}(\cos y+i\sin y)} 。
三角函数 编辑 根据欧拉公式 ,三角函数 余弦和正弦是:
cos z = e i ⋅ z + e − i ⋅ z 2 sin z = e i ⋅ z − e − i ⋅ z 2 ⋅ i {\displaystyle \cos z={\frac {e^{i\cdot z}+e^{-i\cdot z}}{2}}\qquad \sin z={\frac {e^{i\cdot z}-e^{-i\cdot z}}{2\cdot i}}} 历史上,在复数发明之前,余弦和正弦是用几何的方法定义的。上面的公式将复杂的三角函数的求和公式转换成了简单的指数方程
e i ⋅ ( x + y ) = e i ⋅ x ⋅ e i ⋅ y . {\displaystyle e^{i\cdot (x+y)}=e^{i\cdot x}\cdot e^{i\cdot y}.\,} 使用了复数指数幂之后,很多三角学问题都能够使用代数方法解决。
e的复数指数幂 编辑 e x + i y {\displaystyle e^{x+iy}} 可以分解成 e x ⋅ e i y {\displaystyle e^{x}\cdot e^{iy}} 。其中 e x {\displaystyle e^{x}} 是 e x + i y {\displaystyle e^{x+iy}} 的模 , e i y {\displaystyle e^{iy}} 决定了 e x + i y {\displaystyle e^{x+iy}} 的方向
正实数的复数幂 编辑 如果 a {\displaystyle a} 是一个正实数, z {\displaystyle z} 是任何复数, a z {\displaystyle a^{z}} 定义成 e z ⋅ ln ( a ) {\displaystyle e^{z\cdot \ln(a)}} ,其中 x = ln ( a ) {\displaystyle x=\ln(a)} 是方程 e x = a {\displaystyle e^{x}=a} 的唯一解。所以处理实数的方法同样可以用来处理复数。
例如:
2 i = e i ⋅ ln ( 2 ) = cos ln 2 + i ⋅ sin ln 2 = 0.7692 + 0.63896 i {\displaystyle 2^{i}=e^{i\cdot \ln(2)}=\cos {\ln 2}+i\cdot \sin {\ln 2}=0.7692+0.63896i} e i = 0.5403023 + 0.841471 i {\displaystyle {{e}^{i}}=0.5403023+0.841471i} 10 i = − 0.6682015 + 0.7439803 i {\displaystyle {{10}^{i}}=-0.6682015+0.7439803i} ( e 2 π ) i = 535.49 i = 1 {\displaystyle (e^{2\pi })^{i}=535.49^{i}=1} 复数的复数幂 编辑 计算自然数(正整数) n {\displaystyle n} 的 a n {\displaystyle a^{n}} 的算法 编辑 另見 编辑 註釋 编辑 ^ 李迪. 中国数学通史: 宋元卷. 江苏敎育出版社. 1999: 294. ISBN 9787534336928 . 自乘为幂 ^ 存档副本 . [2022-10-21 ] . (原始内容存档 于2022-10-22). ^ Augustin-Louis Cauchy, Cours d'Analyse de l'École Royale Polytechnique (1821). In his Oeuvres Complètes , series 2, volume 3. ^ 康軒國中1上《FUN學練功坊①》P.35:a的0次方=1(a≠0)(註:0的0次方為無意義) ^ Denlinger, Charles G. Elements of Real Analysis . Jones and Bartlett. 2011: 278 –283. ISBN 978-0-7637-7947-4 . ^ This definition of a principal root of unity can be found in: 外部連結 编辑