棣莫弗公式
一個關於複數和三角函數的公式
(重定向自棣莫弗定理)
棣莫弗公式是一個關於複數和三角函數的公式,命名自法國數學家亞伯拉罕·棣美弗(1667年-1754年)。其內容為對任意实数和整數,下列性質成立:
其中是虛數單位()。值得注意的是,儘管本公式以棣美弗本人命名,他從未直接地將其發表過[1]。為了方便起見,我們常常將合併為另一個三角函數cis(x),也就是說:
在操作上,我們常常限制屬於實數,這樣一來就可藉由比較虛部與實部的方式把和變化為和的形式。另外,儘管棣美弗公式限制須為整數,但倘若適當推廣本公式,便可將拓展到非整數的領域。
證明编辑
(证明的思路是用数学归纳法证明正整数的情形,并推广到负整数。)
令
(1)当 时,显然成立。
(2)當 时:
左式 右式
因此, 成立。
(3)當 时:
假設 成立,即
當 时:
等号1处使用和角公式。
因此, 也成立。
综上所述,根據數學歸納法, , 成立。
另外,由恒等式:
可知,公式对于负整数情况也成立。
证毕。
檢定编辑
- 由於
- 所以
用棣莫弗公式求根编辑
此定理可用來求單位複數的 次方根。設 ,表為
若 ,則 也可以表成:
按照棣莫弗公式:
於是得到
- (其中 )
也就是:
當 取 ,我們得到 個不同的根:
參考資料编辑
- ^ Lial, Margaret L.; Hornsby, John; Schneider, David I.; Callie J., Daniels. College Algebra and Trigonometry 4th. Boston: Pearson/Addison Wesley. 2008: 792. ISBN 9780321497444.
- ^ 林琦焜. 棣美弗定理與 Euler 公式 (PDF). 中央研究院. 2006-12-22 [2017-06-18]. (原始内容存档 (PDF)于2021-01-19).
🔥 Top keywords: Baike: 首页Special:搜索毛泽东家族榮耀之繼承者天之驕女鐵拳英雄九龍城寨之圍城黃循財背着善宰跑篠崎泫妮妃雅新生 (网络剧)劉偉健斯洛伐克习近平劉俊謙 (香港)李显龙歌手2024佛誕淚之女王2024年泰國羽球公開賽新加坡總理邊佑錫新加坡Energy (組合)庆余年九龍寨城六四事件家族榮耀金智媛彌助菲律宾胖猫跳江事件劉寶傑DAY6林峯張文傑李光耀神耆小子張鳳妮黃世聰Seventeen (組合)维基百科願榮光歸香港中華民國鬼滅之刃 柱訓練篇2024年英雄联盟季中邀请赛中华人民共和国TripleS金秀賢 (男演員)罗伯特·菲佐井柏然2024年世界女排联赛黃偉哲怪獸8號佘詩曼Foodpanda金惠奫新加坡总统香緹·摩爾于北辰 (1968年)王嘉爾笑看風雲排球少年!!角色列表林飛帆郭葦昀馴鹿寶貝翁靜晶猩球崛起:王國誕生ILLIT尼古拉·約基奇春色寄情人周殷廷鬼滅之刃排球少年!!吳釗燮逆天奇案2不夠善良的我們BABYMONSTER李正皓尚达曼BOYNEXTDOOR胡子彤IVE (組合)陳靜 (香港)香港吴作栋黃道十二宮凡希亚·奥伊亚胡宇威長洲太平清醮張員瑛搜查班長1958伍允龍习明泽黄岩岛賴清德偶然遇見的你虽然不是英雄