阿基米德公理
在抽象代数和分析学中,以古希腊数学家阿基米德命名的公理,是一些赋范的群、域和代数结构具有的一个性质,可表述如下:
對於任何正實數 及 ,即使 多麼小,或是 多麼大,也必定存在自然數 ,使得 。
這公理的粗略意義是,數字系統不存在具有无穷大或无穷小性質的元素。
这个概念源于古希腊对量的理论。由于它出现在阿基米德的《论球体和圆柱体》的公理五,1883年,奧地利數學家奥托·施托尔茨赋予它这个名字[1]。
形式敘述以及證明编辑
解釋编辑
簡單地說,阿基米德性質可以認為以下二句敘述的任一句:
- 給出任何數,你總能夠挑選出一個整數大過原來的數。
- 給出任何正數,你總能夠挑選出一個整數其倒數小過原來的數。
這等價于說,對於任何正實數 、 ,如果 ,則存在自然數 ,有
与實數的完備性的关系编辑
假設對所有 , (注意 表示 个 相加),令 ,則 爲 的上界( 上方有界,依實數完備性,必存在最小上界,令其為 ),於是 有
得出 也是 的一個上界,這與 是最小上界矛盾。這樣就由實數的完備性推出了阿基米德性質,但阿基米德性質推不出實數的完備性,因為有理數滿足阿基米德性質,但並不是完備的。
參看编辑
- ^ Weisstein, Eric W. (编). Archimedes Axiom. at MathWorld--A Wolfram Web Resource. Wolfram Research, Inc. [2016-01-05]. (原始内容存档于2021-04-29) (英语).
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