自守形式
數學上所謂的自守形式(英語:Automorphic form),是一類特別的複變數函數,並在某個離散變換群下滿足由自守因子描述之變換規律。模形式與馬斯形式是其特例。由自守形式可定義自守表示,嚴格言之,自守表示並非尋常意義下的群表示,而是整體赫克代數上的模。
古典定義编辑
設 為作用於複區域 的離散群。取定自守因子 及權 。相應的權 自守形式是 上滿足下述函數方程的全純函數
- 。
自守因子 當 固定時是 上的全純函數,並且是 上的 1-閉上鏈。
定義中的複值函數 可推廣成取值為矩陣的函數;權 的限制亦可放鬆,例如半整數 。
群上的定義编辑
自守形式另有群表示理論的詮釋,並牽涉數論,但無法完全涵攝古典定義。為簡單起見,以下設 ,其中心可等同於 。
考慮整體域 (例如 ),由此定義 的阿代爾點 ,賦予相應的拓撲結構,並取定標準的緊子群 。
固定一擬特徵 。以 為中心特徵的自守形式定為 上滿足下列條件的複值函數 :
- 光滑:若 為函數域,這代表 是局部常數函數。否則意謂存在一組 的開覆蓋 ,對每個 , ,而 無窮可微。
- 对任何 及任何 ,总有 。
- 右 -有限:函數 張成有限維向量空間。
- 承上,設 為泛包絡代數 之中心,則 為 -有限。
- 緩增性:固定適當的高度函數 (取法不影響定義),存在常數 及 使得 。
註記. 若 是 的阿基米德賦值,條件二中張出的空間在李代數 的作用 下不變。條件三蘊含自守形式對阿基米德賦值是解析函數。
若對所有 皆有
則稱 為尖點形式。
自守表示编辑
定義 為中心特徵為 的自守形式集,子空間 則為尖點形式集。
這兩個空間是有限阿代爾群 的表示;對阿基米德賦值則帶有 -模結構。此套結構可以概括為整體赫克代數 的表示。注意:它們並非 的表示!
一個自守表示是 -模 之子商, 稱作該自守表示的中心擬特徵。尖點自守表示是 之子空間。
参考文献编辑
- A.N. Parshin, Automorphic Form, Hazewinkel, Michiel (编), 数学百科全书, Springer, 2001, ISBN 978-1-55608-010-4
- Henryk Iwaniec, Spectral Methods of Automorphic Forms, Second Edition, (2002) (Volume 53 in Graduate Studies in Mathematics), American Mathematical Society, Providence, RI ISBN 0-8218-3160-7
- Daniel Bump, Automorphic Forms and Representations, (1998), Cambridge Studies in Advanced Mathematics 55. ISBN 0-521-65818-7 .
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