函數域
在代數幾何中,一個整概形 的函數域 由 上的有理函數組成;對於一般的概形,相應的對象是有理函數層。雙有理幾何研究的便是由 所決定的幾何性質。
整概形的情形编辑
定義编辑
若 是仿射整概形, 為開集,則定義 為 的分式域。此時 是 的分式域的常數層。
若 是整概形,而非仿射概形,則任何非空仿射開集都稠密。對任何開集 ,可以一致地定義 ,其中 是任一非空仿射開集;這仍然是對應到一個域的常數層,該域稱之為 的函數域。另一種等價定義是 在一般點的莖。
函數域與維度编辑
設 為域, 為不可約 -代數簇,則 是 的域擴張,有時也寫作 。此擴張的超越次數等於 ,此命題可以化約到仿射簇的情形,再以諾特正規化引理證明。
例子编辑
- 的函數域是 。
以下設 為域。
一般概形的情形编辑
當 不是整概形時, 在開集上的截面可能有零因子,此時分式域並不存在(詳見 Kleiman 的文章)。正解如下:
若 局部上可以分解成有限個整概形 (這對局部諾特概形皆成立),則對任何開集 有
此時 是 上的擬凝聚層。
與亞純函數域的關係编辑
在複代數幾何中,基本的對象是不可約複解析簇,其上能局部地開展複分析,由此可以定義複解析簇上的亞純函數;亞純函數域是該簇上的亞純函數之集合。在不可約 -代數簇上,有理函數必為亞純函數,反之則不然(考慮 );若加上緊緻條件,則可證明此時亞純函數域確等於有理函數域。
文獻编辑
- Grothendieck, Alexandre; Jean Dieudonné. Éléments de géométrie algébrique 2nd edition. Berlin; New York: Springer-Verlag. 1971. ISBN 978-3-540-05113-8 (法语).
- Kleiman, S., "Misconceptions about KX", Enseign. Math. 25 (1979), 203-206
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