結式

結式是數學中一個常用的不變量。考慮域 $F$ 上兩個多項式 $P,Q$ ，設其首項係數分別為 $a,b$ ，則其結式定義為

\mathrm {res} (P,Q):=a^{\deg Q}b^{\deg P}\prod _{(x,y)\in {\bar {F}}^{2}:\,P(x)=0,\,Q(y)=0}(x-y),\,

其中 ${\bar {F}}$ 為 $F$ 的給定代數閉包。由此定義的結式是 $F$ 的元素，而与代數閉包的選取无关。

計算方式编辑

\mathrm {res} (P,Q)=\prod _{P(x)=0}Q(x)\,

此式僅依賴於

Q

除以

P

的餘式。

$\mathrm {res} (P,Q)=(-1)^{\deg P\cdot \deg Q}\cdot \mathrm {res} (Q,P)$
$\mathrm {res} (P\cdot R,Q)=\mathrm {res} (P,Q)\cdot \mathrm {res} (R,Q)$
若 $P_{1}=P+R*Q$ 且 $\deg P_{1}=\deg P$ ，那么 $\mathrm {res} (P,Q)=\mathrm {res} (P_{1},Q)$ 。在論及計算方式時已利用此性質。
若 $X,Y,P,Q$ 同次， $X=a_{00}\cdot P+a_{01}\cdot Q,Y=a_{10}\cdot P+a_{11}\cdot Q$ ，則有