2的算術平方根
(重定向自畢達格拉斯常數)
2的算術平方根,俗称“根号2”,记作,可能是最早被发现的无理数。相传毕达哥拉斯学派的希帕索斯首先提出了“不是有理数”的命题:若一个直角三角形的两个直角边都是1,那么它的斜边长,无法用整数或分数表示。
2的平方根 | ||
---|---|---|
| ||
命名 | ||
名稱 | 2的算術平方根 2的主平方根 根号2 | |
識別 | ||
種類 | 無理數 | |
符號 | ||
性質 | ||
連分數 | ||
以此為根的多項式或函數 | ||
表示方式 | ||
值 | 1.414213562... | |
二进制 | 1.011010100000100111100110… | |
十进制 | 1.414213562373095048801688… | |
十六进制 | 1.6A09E667F3BCC908B2FB1366… | |
其最初65位為
是无理数的证明编辑
常見的證明编辑
- 假設 是有理數,即有整數 、 ,使得
- 將 重寫成最簡分數 ,即 和 互質,且
- 所以 ,即
- 因為 必為偶数,故 亦是偶数
- 故 為偶数(奇数的平方不會是偶数)
- 所以必有一整數 ,使得
- 將(3)的式子代入(6):
- 化简得
- 因为 是偶数,所以 是偶数, 亦是偶数
- 所以 和 都是偶数,跟 是最簡分數的假設矛盾
- 因為導出矛盾,所以(1)的假設錯誤, 不是有理數,即是無理數
這個證明可推廣至證明任何非完全平方數的正整數 ,其算術平方根 為無理數。
另一個證明编辑
另外一個 是無理數的反證法證明較少為人所知,但證明方法也相當漂亮:
- 假設 是有理數,便可以表示成最簡分數 ,其中 , 為正整數
- 由於 ,所以
- 因為
- 所以
- 故 是比 更簡的分數,與 是最簡分數的假設矛盾
從一個直角邊為 ,斜邊為 的等腰直角三角形,可以用尺規作圖作出直角邊為 ,斜邊為 的等腰直角三角形。這是古希臘幾何學家的作圖證明方法。
性质编辑
2的算术平方根的连分数展开式为:
註釋编辑
- ^ 令 ,由觀察可知 ,即 ,解方程,取正根,得 ,因此 。
参见编辑
外部链接编辑
- 是無理數的六個證明,香港大學數學系蕭文強(页面存档备份,存于互联网档案馆)(Mathematical Excalibur Vol.3 No.1 Page 2)
- 舊題新解 — 根號2是無理數,張海潮 張鎮華[永久失效連結](數學傳播 第 30 卷 第 4 期)
🔥 Top keywords: Baike: 首页Special:搜索胖猫跳江事件背着善宰跑九龍城寨之圍城逆天奇案2璩静淚之女王歌手2024Energy (組合)新生 (网络剧)习近平匈牙利邊佑錫劉俊謙 (香港)金智媛神耆小子塞尔维亚金秀賢 (男演員)母亲节猩球崛起:王國誕生九龍寨城馴鹿寶貝家族榮耀之繼承者Seventeen (組合)六四事件不夠善良的我們张维为楊佩潔TripleS支配物种庆余年郭葦昀洪若潭命案金惠奫2024年英雄联盟季中邀请赛春色寄情人BABYMONSTER笑看風雲乘風2024排球少年!!角色列表破墓徐巧芯中华人民共和国中華民國打天下2WIND BREAKER—防風少年—习明泽排球少年!!彭丽媛磁暴ILLIT贾斯汀·比伯逆天奇案BOYNEXTDOOR猿人爭霸戰:猩凶革命張書偉我的婆婆怎麼那麼可愛我獨自升級怪獸8號謝坤達IVE (組合)與鳳行關於我轉生變成史萊姆這檔事角色列表黃道十二宮福建號航空母艦虽然不是英雄葉乃文五月天張員瑛草榴社区張文傑2024年花蓮地震极光香緹·摩爾迷宮飯呂家愷搜查班長1958日本劉德華海莉·鮑德溫蕭景鴻越位 (足球)葬送的芙莉蓮周處除三害 (電影)毛泽东願榮光歸香港林峯周雨彤伍允龍羅毓儀香港Baike: 分類索引沒有秘密猩球崛起:終極決戰角質層唐振剛柯佳嬿文化大革命