狄拉克算子

一般的，令D是作用于黎曼流形M上的向量丛V的一阶微分算子。如果

${\displaystyle D^{2}=\Delta ,\,}$

其中∆是V上的拉普拉斯算子，则D被称为狄拉克算子。

在高能物理中，这个条件经常被放松：只有D²的二阶部分必须等于拉普拉斯算子。

例1: D=-i∂_x是作用在直线上的切线丛的狄拉克算子。

例2: 我们现在考虑一个物理学中重要的简单丛：一个限制在平面上带有½自旋的粒子的位形空间，这也是一个基本流形。它被表示为波函数ψ: R²→C²

${\displaystyle \psi (x,y)={\begin{bmatrix}\chi (x,y)\\\eta (x,y)\end{bmatrix}}}$

其中x和y是R²上的坐标。χ表示自旋向上粒子的概率幅，η与之类似。所谓的自旋狄拉克算子可以被写为

${\displaystyle D=-i\sigma _{x}\partial _{x}-i\sigma _{y}\partial _{y},\,}$

其中σ_i 是泡利矩阵。通过泡利矩阵的反对易关系可以知道上面定义的性质是显然的。这些定义了克利福德代数的概念。

旋量场的狄拉克方程的解常被称为调和旋量。

例3: 描述三维空间中自由费米子的传播的狄拉克算子可以写为

${\displaystyle D=\gamma ^{\mu }\partial _{\mu }\ \equiv \partial \!\!\!/,}$

其中用到费曼斜线标记。

例4: 在克利福德分析（英语：Clifford analysis）中也有狄拉克算子。 在n维欧几里得空间中是

${\displaystyle D=\sum _{j=1}^{n}e_{j}{\frac {\partial }{\partial x_{j}}}}$

其中{e_j: j = 1, ..., n}是n维欧几里得空间的标准正交基，考虑Rⁿ嵌入一个克利福德代数。

这是阿蒂亚-辛格-狄拉克算子作用于旋量丛的特殊情形。

例5: 对于一个自旋流形（英语：spin manifold），M，阿蒂亚-辛格-狄拉克算子局部定义如下：对于x∈M和M在x处的切空间的局部标准正交基e₁(x), ..., e_j(x)，阿蒂亚-辛格-狄拉克算子是

${\displaystyle \sum _{j=1}^{n}e_{j}(x){\tilde {\Gamma }}_{e_{j}(x)}}$ ,

其中${\displaystyle {\tilde {\Gamma }}}$ 是从M上的列维-奇维塔联络到M上的旋量丛的提升。

在克利福德分析中，算子D: C^∞(R^k ⊗ Rⁿ,S)→C^∞(R^k ⊗Rⁿ,C^k ⊗S)作用在如下定义的旋量值函数

${\displaystyle f(x_{1},\ldots ,x_{k})\mapsto {\begin{pmatrix}\partial _{\underline {x_{1}}}f\\\partial _{\underline {x_{2}}}f\\\ldots \\\partial _{\underline {x_{k}}}f\\\end{pmatrix}}}$

有时被称为k克利福德变量的狄拉克算子。上面符号中，是旋量空间，S是旋量空间，${\displaystyle x_{i}=(x_{i1},x_{i2},\ldots ,x_{in})}$ 是n维变量，${\displaystyle \partial _{\underline {x_{i}}}=\sum _{j}e_{j}\cdot \partial _{x_{ij}}}$ 是狄拉克算子在第i个变量的分量。这是狄拉克算子（k=1）和杜比尔特算子（英语：Dolbeault operator）（n=2，k 任意）的一般推广。这是一个不变微分算子（英语：invariant differential operator），在群SL(k)×Spin(n)的作用下不变。D的分解只在一些特殊情形是已知的。

• Friedrich, Thomas, Dirac Operators in Riemannian Geometry, American Mathematical Society, 2000, ISBN 978-0-8218-2055-1 
• Colombo, F., I.; Sabadini, I., Analysis of Dirac Systems and Computational Algebra, Birkhauser Verlag AG, 2004, ISBN 978-3-7643-4255-5