黎曼流形
黎曼流形(Riemannian manifold)是一個微分流形,其中每點p的切空間都定義了點積,而且其數值隨p平滑地改變。它容許我們定義弧線長度、角度、面積、體積、曲率、函數梯度及向量域的散度。
每個Rn的平滑子流形可以导出黎曼度量:把Rn的點積都限制於切空間內。實際上,根据纳什嵌入定理,所有黎曼流形都可以這樣产生。
我們可以定義黎曼流形為和Rn的平滑子流形是等距同构的度量空間,等距是指其内蕴度量(intrinsic metric)和上述从Rn导出的度量是相同的。这對建立黎曼幾何是很有用的。
黎曼流形可以定义为平滑流形,其中给出了一个切丛的正定二次形的光滑截面。它可產生度量空間:
如果γ : [a, b] → M是黎曼流形M中一段連續可微分的弧線,我們可以定義它的長度L(γ)為
(注意:γ'(t)是切空間M在γ(t)點的元素;||·||是切空間的內積所得出的範數。)
使用这个长度的定义,每个连通的黎曼流形M很自然的成为一个度量空間(甚至是長度度量空間):在x與y兩點之間的距離d(x, y)定義為:
- d(x,y) = inf{ L(γ) : γ是连接x和y的一条光滑曲线}。
虽然黎曼流形通常是弯曲的,“直線”的概念依然存在:那就是測地線。
在黎曼流形中,測地線完备的概念,和拓撲完备及度量完备是等价的:每个完备性都可以推出其他的完备性,这就是Hopf-Rinow定理的内容。
參看编辑
參考编辑
- Jurgen Jost, Riemannian Geometry and Geometric Analysis, (2002) Springer-Verlag, Berlin ISBN 3-540-4267-2
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