比值审敛法
比值审敛法(Ratio test)是判别级数敛散性的一种方法,又称为达朗贝尔判别法(D'Alembert's test)[1]。
定理编辑
设 为一级数,如果
,
- 当ρ<1时级数絕對收敛
- 当ρ>1时级数发散
- 当ρ=1时级数可能收敛也可能发散。
证明编辑
如果 ,那么存在一个实数 以及一个正整数 ,满足 ,使得当 时,总有 成立;因此在上述条件下,当 为正整数时有 ,于是根据无穷等比数列求和得出下式绝对收敛:
如果 ,那么同样存在一个正整数 ,使得当 时,总有 ,求和项的极限不为零,于是级数发散。
而当 时,以 与 为例,结果同样为 ,但前者发散而后者收敛(后者收敛值为 ),该例子可以用比较审敛法来审敛。
例子编辑
收敛编辑
考虑级数
因此该级数收敛。
发散编辑
考虑级数
= = = = = =
因此该级数发散。
不能确定编辑
级数
发散,但
而级数
收敛,但
参见编辑
参考文献编辑
- ^ 卓里奇, B.A. 数学分析 第7版. ISBN 9787040287554.
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