阿贝尔判别法
阿贝尔判别法(Abel test)是一个用于判断无穷级数是否收敛的方法。阿贝尔判别法有两种不同的形式,一个是用来判断实数项级数的收敛,另一个是用来判断复数项级数的收敛。
实数项级数的阿贝尔判别法编辑
- 收敛
则级数
收敛。
复数项级数的阿贝尔判别法编辑
一个相关的审敛法,也称为阿贝尔判别法,通常用来判断幂级数在收敛圆的边界上的收敛性。如果
而级数
在|z| < 1是收敛,而在|z| > 1时发散,系数{an}是正的实数,当n > m时单调递减并收敛于零,则f(z)的幂级数在单位圆上处处收敛,除了z = 1以外。当z = 1时,不能使用阿贝尔判别法,所以那个点的收敛性必须另外讨论。注意,利用变量代换ζ = z/R,阿贝尔判别法也可以用来判断收敛半径R ≠ 1的幂级数的收敛性。[1]
证明编辑
假设z是单位圆上的一个点,z ≠ 1。则
所以,对于任何两个正整数p > q > m,我们有
其中Sp和Sq是部分和:
但是,由于|z| = 1,而当n > m时,an是单调递减的正实数,我们又有
现在我们可以使用柯西判别法来证明f(z)的幂级数在z ≠ 1时收敛,因为sin(½θ) ≠ 0是一个定值,而我们可以通过选择足够大的q,来使aq+1小于任何给定的ε > 0。
注解编辑
- ^ (Moretti, 1964, p. 91)
参考文献编辑
- Gino Moretti, Functions of a Complex Variable, Prentice-Hall, Inc., 1964
外部链接编辑
🔥 Top keywords: Baike: 首页Special:搜索胖猫跳江事件背着善宰跑九龍城寨之圍城逆天奇案2璩静淚之女王歌手2024Energy (組合)新生 (网络剧)习近平匈牙利邊佑錫劉俊謙 (香港)金智媛神耆小子塞尔维亚金秀賢 (男演員)母亲节猩球崛起:王國誕生九龍寨城馴鹿寶貝家族榮耀之繼承者Seventeen (組合)六四事件不夠善良的我們张维为楊佩潔TripleS支配物种庆余年郭葦昀洪若潭命案金惠奫2024年英雄联盟季中邀请赛春色寄情人BABYMONSTER笑看風雲乘風2024排球少年!!角色列表破墓徐巧芯中华人民共和国中華民國打天下2WIND BREAKER—防風少年—习明泽排球少年!!彭丽媛磁暴ILLIT贾斯汀·比伯逆天奇案BOYNEXTDOOR猿人爭霸戰:猩凶革命張書偉我的婆婆怎麼那麼可愛我獨自升級怪獸8號謝坤達IVE (組合)與鳳行關於我轉生變成史萊姆這檔事角色列表黃道十二宮福建號航空母艦虽然不是英雄葉乃文五月天張員瑛草榴社区張文傑2024年花蓮地震极光香緹·摩爾迷宮飯呂家愷搜查班長1958日本劉德華海莉·鮑德溫蕭景鴻越位 (足球)葬送的芙莉蓮周處除三害 (電影)毛泽东願榮光歸香港林峯周雨彤伍允龍羅毓儀香港Baike: 分類索引沒有秘密猩球崛起:終極決戰角質層唐振剛柯佳嬿文化大革命