标量乘法
标量乘法(英語:scalar multiplication)是線性代數中向量空間的一種基本運算[1][2][3](更廣義的,是抽象代數的一個模)[4][5])。在直覺上,將一個實數向量和一個正的實數進行标量乘法,也就是將其長度乘以此标量,方向不變。标量一詞也從此用法而來:可將向量缩放的量。标量乘法是將標量和向量相乘,結果得到一向量,和內積將兩向量相乘,得到一純量不同。
「标量乘法」的各地常用名稱 | |
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中国大陸 | 标量乘法、数乘 |
臺灣 | 純量乘法、係數積 |
定義编辑
若K為域,而V為K上的向量空間,标量乘法為從K× V到V的函数。將K中的c和V中的v計算标量乘法,結果記為cv。
性質编辑
标量乘法符合以下的規則:(粗体表示向量)
詮釋编辑
标量乘法可以視為是向量空間的外部二元运算或域的群作用。标量乘法的幾何詮釋是向量的拉長,方向可能會對調。
标量乘法中,V也可以是K,則标量乘法就變成域中的乘法。
若V是Kn,标量乘法等於向量中的每一個元素都和標量相乘,需另外定義。
若K是交换环而V是K上的模,同樣的定義仍可以適用。K甚至可以是一個半環,但沒有加法逆元。若K不符合交換律,可以定義左标量乘法cv和右標量乘法vc。
相關编辑
參考資料编辑
- ^ Lay, David C. Linear Algebra and Its Applications 3rd. Addison–Wesley. 2006. ISBN 0-321-28713-4.
- ^ Strang, Gilbert. Linear Algebra and Its Applications 4th. Brooks Cole. 2006. ISBN 0-03-010567-6.
- ^ Axler, Sheldon. Linear Algebra Done Right 2nd. Springer. 2002. ISBN 0-387-98258-2.
- ^ Dummit, David S.; Foote, Richard M. Abstract Algebra 3rd. John Wiley & Sons. 2004. ISBN 0-471-43334-9.
- ^ Lang, Serge. Algebra. Graduate Texts in Mathematics. Springer. 2002. ISBN 0-387-95385-X.
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