有序域
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定义编辑
一个满足下面两个条件的、拥有全序关系 的域 被定义为有序域:对于任何 中的元素 以下两个条件获得满足:
- 若 ,则 。
- 若 且 ,则 。
大于0的元素被称为是正的,小于0的元素被称为是负的。
特性编辑
由以上定义可以直接推导出以下特性( 是 的元素):
- 一个正的元素的负数是负的,一个负的元素的负数是正的:即任何 中的 ,假如 则 或 。
- 不等式可以相加: 和 则 。
- 不等式可以与正元素相乘: 和 则 。
- 平方数不是负的: ,尤其 。
- 通过数学归纳法可以推导出任何一的有限的和是正的: 。
结构编辑
所有有序域都具有特征数0。这个结论直接出于上述的最后一个特性 。
每个有序域的子域也是有序域。任何含特征数0的域其最小子域与有理数同構,且这个子域的排序与 一致。
假如一个有序域中的任何元素都介于两个有理数之间的话,则该域具有阿基米德性质。比如实数是具有阿基米德性质的,而超实数则不具有。
有序域 的排序可用來定義 的拓扑空间,这个拓扑空间可由 和 作為準基來生成,稱之為序拓撲。加法和乘法运算相对于这个拓扑空间是连续的。
例子编辑
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