推遲勢

對於靜態的電荷分佈和電流分佈，電勢${\displaystyle \Phi (\mathbf {r} )}$ 和磁向量勢${\displaystyle \mathbf {A} (\mathbf {r} )}$ 分別定義為

${\displaystyle \Phi (\mathbf {r} )\ {\stackrel {def}{=}}\ {\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}\int _{\mathbb {V} '}{\frac {\rho (\mathbf {r} ')}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}\,d^{3}\mathbf {r} '}$ 、

${\displaystyle \mathbf {A} (\mathbf {r} )\ {\stackrel {def}{=}}\ {\frac {\mu _{0}}{4\pi }}\int _{\mathbb {V} '}{\frac {\mathbf {J} (\mathbf {r} ')}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}\,d^{3}\mathbf {r} '}$ ；

其中，${\displaystyle \mathbf {r} }$ 是場位置，${\displaystyle \mathbf {r} '}$ 是源位置，${\displaystyle \epsilon _{0}}$ 是真空電容率，${\displaystyle \mu _{0}}$ 是真空磁導率，${\displaystyle \rho }$ 是電荷密度，${\displaystyle \mathbf {J} }$ 是電流密度，${\displaystyle \mathbb {V} '}$ 是體積分的空間，${\displaystyle d^{3}\mathbf {r} '}$ 是微小體元素。

在電動力學裏，這兩個方程式必須加以延伸，才能正確地響應含時電流分佈或含時電荷分佈。定義推遲時間${\displaystyle t_{r}}$ 為檢驗時間${\displaystyle t}$ 減去電磁波傳播的時間：

${\displaystyle t_{r}\ {\stackrel {def}{=}}\ t-{\frac {|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}{c}}}$ ；

其中，${\displaystyle c}$ 是光速。

假設，從源位置${\displaystyle \mathbf {r} '}$ 往場位置${\displaystyle \mathbf {r} }$ 發射出一束電磁波，而這束電磁波在檢驗時間${\displaystyle t}$ 抵達觀測者的場位置${\displaystyle \mathbf {r} }$ ，則這束電磁波發射的時間是推遲時間${\displaystyle t_{r}}$ 。由於電磁波傳播於真空的速度是有限的，觀測者檢驗到電磁波的檢驗時間${\displaystyle t}$ ，會不同於這電磁波發射的推遲時間${\displaystyle t_{r}}$ 。

推遲純量勢${\displaystyle \Phi (\mathbf {r} ,\,t)}$ 與推遲向量勢${\displaystyle \mathbf {A} (\mathbf {r} ,\,t)}$ 分別用方程式定義為

${\displaystyle \Phi (\mathbf {r} ,\,t)\ {\stackrel {def}{=}}\ {\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}\int _{\mathbb {V} '}{\frac {\rho (\mathbf {r} ',\,t_{r})}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}\,d^{3}\mathbf {r} '}$ 、

${\displaystyle \mathbf {A} (\mathbf {r} ,\,t)\ {\stackrel {def}{=}}\ {\frac {\mu _{0}}{4\pi }}\int _{\mathbb {V} '}{\frac {\mathbf {J} (\mathbf {r} ',\,t_{r})}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}\,d^{3}\mathbf {r} '}$ 。

請注意，在這兩個含時方程式內，源電荷密度和源電流密度都跟推遲時間${\displaystyle t_{r}}$ 有關，而不是與時間無關。

這兩個含時方程式，是用推理得到的啟發式，而不是用任何定律或公理推導出來的。訊號以光速傳播，從源位置到場位置，需要有限時間。所以在時間${\displaystyle t}$ 的推遲勢必定是由在推遲時間${\displaystyle t_{r}}$ 的源電荷密度或源電流密度產生的。為了要確定這兩個方程式的正確性與合理性，必須證明它們滿足非齊次的電磁波方程式^[1]。還有，勞侖次規範是一個常用的規範，可以較便利地解析電磁輻射的生成問題。稍後會有表示兩個方程式滿足勞侖次規範條件的證明。

含時電荷分佈或含時電流分佈所產生的電勢或磁向量勢，必須遵守达朗贝尔方程，表達為^[2]:1

${\displaystyle \nabla ^{2}\Phi (\mathbf {r} ,\,t)-{1 \over c^{2}}{\partial ^{2}\Phi (\mathbf {r} ,\,t) \over \partial t^{2}}=-{\rho (\mathbf {r} ,\,t) \over \epsilon _{0}}}$ 、

${\displaystyle \nabla ^{2}\mathbf {A} (\mathbf {r} ,\,t)-{1 \over c^{2}}{\partial ^{2}\mathbf {A} (\mathbf {r} ,\,t) \over \partial t^{2}}=-\mu _{0}\mathbf {J} (\mathbf {r} ,\,t)}$ 。

假若，這些用啟發法推理得到的推遲純量勢${\displaystyle \Phi (\mathbf {r} ,\,t)}$ 和推遲向量勢${\displaystyle \mathbf {A} (\mathbf {r} ,\,t)}$ 不能滿足非齊次的電磁波方程式，那麼，這些推遲勢很可能有重大錯誤，無法適用於期望的用途（從含時源生成電磁輻射）。

設定${\displaystyle {\boldsymbol {\mathfrak {R}}}}$ 為從源位置到場位置的分離向量：

${\displaystyle {\boldsymbol {\mathfrak {R}}}=\mathbf {r} -\mathbf {r} '}$ 。

場位置${\displaystyle \mathbf {r} }$ 、源位置${\displaystyle \mathbf {r} '}$ 和時間${\displaystyle t}$ 都是自變數（independent variable）。分離向量${\displaystyle {\boldsymbol {\mathfrak {R}}}}$ 和其大小${\displaystyle {\mathfrak {R}}}$ 都是應變數（dependent variable），跟場位置${\displaystyle \mathbf {r} }$ 、源位置${\displaystyle \mathbf {r} '}$ 有關。推遲時間${\displaystyle t_{r}=t-{\mathfrak {R}}/c}$ 也是應變數，跟時間${\displaystyle t}$ 、分離距離${\displaystyle {\mathfrak {R}}}$ 有關。

推遲純量勢${\displaystyle \Phi (\mathbf {r} ,\,t)}$ 的梯度是

${\displaystyle \nabla \Phi (\mathbf {r} ,\,t)={\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}\int _{\mathbb {V} '}\nabla \left({\frac {\rho (\mathbf {r} ',\,t_{r})}{\mathfrak {R}}}\right)\,d^{3}\mathbf {r} '={\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}\int _{\mathbb {V} '}\left[{\frac {\nabla \rho (\mathbf {r} ',\,t_{r})}{\mathfrak {R}}}+\rho (\mathbf {r} ',\,t_{r})\nabla \left({\frac {1}{\mathfrak {R}}}\right)\right]\,d^{3}\mathbf {r} '}$ 。

源電荷密度${\displaystyle \rho (\mathbf {r} ',\,t_{r})}$ 的全微分是

${\displaystyle {\begin{aligned}d\rho (\mathbf {r} ',\,t_{r})&=\nabla '\rho \cdot d\mathbf {r} '+{\frac {\partial \rho }{\partial t_{r}}}dt_{r}\\&=\nabla '\rho \cdot d\mathbf {r} '+{\frac {\partial \rho }{\partial t_{r}}}\left({\frac {\partial t_{r}}{\partial t}}dt+{\frac {\partial t_{r}}{\partial {\mathfrak {R}}}}d{\mathfrak {R}}\right)\\&=\nabla '\rho \cdot d\mathbf {r} '+{\frac {\partial \rho }{\partial t_{r}}}\left(dt-{\frac {1}{c}}d{\mathfrak {R}}\right)\\&=\nabla '\rho \cdot d\mathbf {r} '+{\frac {\partial \rho }{\partial t_{r}}}\left[dt-{\frac {1}{c}}(\nabla {\mathfrak {R}}\cdot d\mathbf {r} )+\nabla '{\mathfrak {R}}\cdot d\mathbf {r} ')\right]\\\end{aligned}}}$ 。

注意到

${\displaystyle {\frac {\partial \rho (\mathbf {r} ',\,t)}{\partial t}}={\frac {\partial t_{r}}{\partial t}}\ {\frac {\partial \rho (\mathbf {r} ',\,t_{r})}{\partial t_{r}}}={\frac {\partial \rho (\mathbf {r} ',\,t_{r})}{\partial t_{r}}}}$ 、

${\displaystyle \nabla {\mathfrak {R}}={\hat {\boldsymbol {\mathfrak {R}}}}}$ 。

所以，源電荷密度${\displaystyle \rho (\mathbf {r} ',\,t_{r})}$ 的梯度是

${\displaystyle \nabla \rho (\mathbf {r} ',\,t_{r})=-{\frac {1}{c}}\ {\frac {\partial \rho (\mathbf {r} ',\,t_{r})}{\partial t_{r}}}\nabla {\mathfrak {R}}=-{\frac {1}{c}}\ {\frac {\partial \rho (\mathbf {r} ',\,t_{r})}{\partial t}}{\hat {\boldsymbol {\mathfrak {R}}}}=-{\frac {{\dot {\rho }}(\mathbf {r} ',\,t_{r})}{c}}{\hat {\boldsymbol {\mathfrak {R}}}}}$ ；

其中，${\displaystyle {\dot {\rho }}(\mathbf {r} ',\,t_{r})}$ 定義為${\displaystyle {\frac {\partial \rho (\mathbf {r} ',\,t)}{\partial t_{r}}}}$ 。

將這公式代入，推遲純量勢${\displaystyle \Phi (\mathbf {r} ,\,t)}$ 的梯度是

${\displaystyle \nabla \Phi (\mathbf {r} ,\,t)={\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}\int _{\mathbb {V} '}\left[-{\frac {{\dot {\rho }}(\mathbf {r} ',\,t_{r})}{c}}{\frac {\hat {\boldsymbol {\mathfrak {R}}}}{\mathfrak {R}}}-\rho (\mathbf {r} ',\,t_{r})\left({\frac {\hat {\boldsymbol {\mathfrak {R}}}}{{\mathfrak {R}}^{2}}}\right)\right]\,d^{3}\mathbf {r} '}$ 。

推遲純量勢${\displaystyle \Phi (\mathbf {r} ,\,t)}$ 的拉普拉斯算符是

${\displaystyle {\begin{aligned}\nabla ^{2}\Phi (\mathbf {r} ,\,t)&={\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}\int _{\mathbb {V} '}\left[-{\frac {\nabla {\dot {\rho }}(\mathbf {r} ',\,t_{r})}{c}}\cdot {\frac {\hat {\boldsymbol {\mathfrak {R}}}}{\mathfrak {R}}}-{\frac {{\dot {\rho }}(\mathbf {r} ',\,t_{r})}{c}}\nabla \cdot \left({\frac {\hat {\boldsymbol {\mathfrak {R}}}}{\mathfrak {R}}}\right)-[\nabla \rho (\mathbf {r} ',\,t_{r})]\cdot \left({\frac {\hat {\boldsymbol {\mathfrak {R}}}}{{\mathfrak {R}}^{2}}}\right)-\rho (\mathbf {r} ',\,t_{r})\nabla \cdot \left({\frac {\hat {\boldsymbol {\mathfrak {R}}}}{{\mathfrak {R}}^{2}}}\right)\right]\,d^{3}\mathbf {r} \\&={\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}\int _{\mathbb {V} '}\left[-{\frac {{\ddot {\rho }}(\mathbf {r} ',\,t_{r})}{c^{2}{\mathfrak {R}}}}-{\frac {{\dot {\rho }}(\mathbf {r} ',\,t_{r})}{c{\mathfrak {R}}^{2}}}+{\frac {{\dot {\rho }}(\mathbf {r} ',\,t_{r})}{c{\mathfrak {R}}^{2}}}-4\pi \rho (\mathbf {r} ',\,t_{r})\delta ^{3}({\boldsymbol {\mathfrak {R}}})\right]\,d^{3}\mathbf {r} '\\&=-{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}\left[{\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}\int _{\mathbb {V} '}{\frac {\rho (\mathbf {r} ',\,t_{r})}{\mathfrak {R}}}\,d^{3}\mathbf {r} '\right]-{\frac {\rho (\mathbf {r} ,\,t)}{\epsilon _{0}}}\\\end{aligned}}}$ ；

其中，${\displaystyle \delta ^{3}({\boldsymbol {\mathfrak {R}}})}$ 是三維狄拉克δ函數。

所以，推遲純量勢滿足非齊次的電磁波方程式

${\displaystyle \nabla ^{2}\Phi (\mathbf {r} ,\,t)+{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}\Phi (\mathbf {r} ,\,t)}{\partial t^{2}}}=-{\frac {\rho (\mathbf {r} ,\,t)}{\epsilon _{0}}}}$ 。

類似地，可以證明推遲向量勢${\displaystyle \mathbf {A} (\mathbf {r} ,\,t)}$ 滿足非齊次的電磁波方程式。

給予磁場${\displaystyle \mathbf {B} }$ ，並不是只有一個向量場${\displaystyle \mathbf {A} }$ 滿足條件${\displaystyle \mathbf {B} =\nabla \times \mathbf {A} }$ 。實際上，有無限多個解答。應用一項向量恆等式，${\displaystyle \nabla \times (\nabla \lambda )=0}$ ，給予任意函數${\displaystyle \lambda }$ ，那麼，${\displaystyle \mathbb {A} =\mathbf {A} +\nabla \lambda }$ 也是一個解答。磁向量勢的這種特性，稱為規範自由。

物理學家時常會選擇使用某種規範來解析特定的問題。在電磁學裏，勞侖次規範是一個常用的規範，可以便利地解析電磁輻射的生成問題。勞侖次規範用微分方程式表達為

${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {A} +{1 \over c^{2}}{{\partial \Phi } \over {\partial t}}=0}$ 。

按照前述方法，可以證明推遲純量勢${\displaystyle \Phi (\mathbf {r} ,\,t)}$ 和推遲向量勢${\displaystyle \mathbf {A} (\mathbf {r} ,\,t)}$ 滿足勞侖次規範。這是一個很好的練習。

推遲勢與電場${\displaystyle \mathbf {E} }$ 、磁場${\displaystyle \mathbf {B} }$ 的關係分別為

${\displaystyle \mathbf {E} =-\nabla \Phi -{\frac {\partial \mathbf {A} }{\partial t}}}$ 、

${\displaystyle \mathbf {B} =\nabla \times \mathbf {A} }$ 。

按照前述方法，可以得到電場${\displaystyle \mathbf {E} }$ 和磁場${\displaystyle \mathbf {B} }$ 的方程式，又稱為傑斐緬柯方程式^[1]：

${\displaystyle \mathbf {E} (\mathbf {r} ,\,t)={\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}\int _{\mathbb {V} '}\left[\rho (\mathbf {r} ',\,t_{r}){\frac {\mathbf {r} -\mathbf {r} '}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|^{3}}}+{\frac {{\dot {\rho }}(\mathbf {r} ',\,t_{r})}{c}}{\frac {\mathbf {r} -\mathbf {r} '}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|^{2}}}-{\frac {{\dot {\mathbf {J} }}(\mathbf {r} ',\,t_{r})}{c^{2}|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}\right]d^{3}\mathbf {r} '}$ 、

${\displaystyle \mathbf {B} (\mathbf {r} ,t)={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}\int _{\mathbb {V} '}\left[{\frac {\mathbf {J} (\mathbf {r} ',\,t_{r})}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|^{3}}}+{\frac {{\dot {\mathbf {J} }}(\mathbf {r} ',\,t_{r})}{c|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|^{2}}}\right]\times (\mathbf {r} -\mathbf {r} ')\ d^{3}\mathbf {r} '}$ 。

定義超前時間${\displaystyle t_{a}}$ 為現在時間${\displaystyle t}$ 加上光波傳播的時間：

${\displaystyle t_{a}\ {\stackrel {def}{=}}\ t+{\frac {|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}{c}}}$ 。

超前純量勢${\displaystyle \Phi _{a}(\mathbf {r} ,\,t)}$ 與超前向量勢 ${\displaystyle \mathbf {A} _{a}(\mathbf {r} ,\,t)}$ 分別用方程式表達為

${\displaystyle \Phi _{a}(\mathbf {r} ,\,t)={\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}\int _{\mathbb {V} '}{\frac {\rho (\mathbf {r} ',\,t_{a})}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}\,d^{3}\mathbf {r} '}$ 、

${\displaystyle \mathbf {A} _{a}(\mathbf {r} ,\,t)={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}\int _{\mathbb {V} '}{\frac {\mathbf {J} (\mathbf {r} ',\,t_{a})}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}\,d^{3}\mathbf {r} '}$ 。

這兩個方程式表明，在時間${\displaystyle t}$ 的超前純量勢與超前向量勢，乃是由在超前時間${\displaystyle t_{a}}$ 的源電荷密度或源電流密度產生的。超前純量勢${\displaystyle \Phi _{a}(\mathbf {r} ,\,t)}$ 與超前向量勢${\displaystyle \mathbf {A} _{a}(\mathbf {r} ,\,t)}$ 也滿足非齊次的電磁波方程式和勞侖次規範，但它們違反了因果律。這是很嚴峻的問題，未來發生的事件不應該影響過去發生的事件。在物理學裏，超前純量勢和超前向量勢只是很有意思的純理論問題，並沒有任何實際用途。

• 非齊次的電磁波方程式
• 傑斐緬柯方程式
• 黎納-維謝勢
• 拉莫方程式
• 阿布拉罕-勞侖茲力
• 狹義相對論