電荷密度

假設，一個體積為 ${\displaystyle V}$ 的載電體，其電荷密度 ${\displaystyle \rho _{0}}$ 是均勻的，跟位置無關，那麼，總電荷量 ${\displaystyle Q}$ 為

${\displaystyle Q=\rho _{0}V}$ 。

假設，在某一區域內有 ${\displaystyle N}$ 個離散的點電荷，像電子。那麼，電荷密度可以用狄拉克δ函數來表達為

${\displaystyle \rho (\mathbf {r} )=\sum _{i=1}^{N}\ q_{i}\delta (\mathbf {r} -\mathbf {r} _{i})}$ ；

其中， ${\displaystyle \mathbf {r} }$ 是檢驗位置，${\displaystyle q_{i}}$ 是位置為 ${\displaystyle \mathbf {r} _{i}}$ 的第 ${\displaystyle i}$ 個點電荷的電量。

在量子力學裏，類氫原子的中心有一個正電性的原子核，環繞著原子核四週的一個電子的軌域，其電荷密度可以用波函數 ${\displaystyle \psi (\mathbf {r} )}$ 表達為^[1]

${\displaystyle \rho (\mathbf {r} )=q\cdot |\psi (\mathbf {r} )|^{2}}$ ；

其中，${\displaystyle q}$ 是電子的電荷量。

注意到 ${\displaystyle |\psi (\mathbf {r} )|^{2}}$ 是找到電子的機率。經過歸一化，在全部空間找到電子的機率是

${\displaystyle \int _{all\ space}|\psi (\mathbf {r} )|^{2}\mathrm {d} ^{3}{r}=1}$ ；

例如，氫原子的波函數 ${\displaystyle \psi _{nlm}(\mathbf {r} )}$ 是

${\displaystyle \psi _{nlm}(\mathbf {r} )=R_{nl}(r)Y_{l}^{m}(\theta ,\,\phi )}$ ；

其中，${\displaystyle R_{nl}}$ 是徑向函數，${\displaystyle Y_{l}^{m}(\theta ,\,\phi )}$ 是球諧函數，${\displaystyle n}$ 是主量子數，${\displaystyle l}$ 是角量子數，${\displaystyle m}$ 是磁量子數。

從相對論的角度來論述，導線的長度與觀察者的移動速度有關，所以電荷密度是一種相對論性觀念。安東尼·法蘭碁（Anthony French）在他的著作中表明^[2]，移動中的電荷密度會產生磁場力，會吸引或排斥其它載流導線。。使用閔可夫斯基圖，法蘭碁闡明，一條中性的載流導線，對於處於移動參考系的觀察者而言，為什麼會貌似載有淨電荷密度。通過時空坐標，研究電磁現象的領域稱為相對論性電磁學（relativistic electromagnetism）。

電荷密度與電流密度之間的關係式為：

${\displaystyle {\frac {\partial \rho (\mathbf {r} ,\,t)}{\partial t}}+{\boldsymbol {\nabla }}\cdot \mathbf {J} (\mathbf {r} ,\,t)=0}$ ；

其中，${\displaystyle \mathbf {r} }$ 是位置，${\displaystyle t}$ 是時間，${\displaystyle \mathbf {J} }$ 是電流密度。

在電磁理論裏，從馬克士威方程組，可以推導出電荷守恆的連續方程式。根據加入位移電流項目後的安培定律^[3]，

${\displaystyle \nabla \times \mathbf {B} =\mu _{0}\mathbf {J} +\mu _{0}\epsilon _{0}{\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}}$ ；

其中，${\displaystyle \mathbf {B} }$ 是磁場，${\displaystyle \mathbf {E} }$ 是電場，${\displaystyle \mu _{0}}$ 是磁常數，${\displaystyle \epsilon _{0}}$ 是電常數。

取散度於方程式的兩邊：

${\displaystyle \nabla \cdot (\nabla \times \mathbf {B} )=\mu _{0}\nabla \cdot \mathbf {J} +\mu _{0}\epsilon _{0}{\frac {\partial }{\partial t}}(\nabla \cdot \mathbf {E} )}$ 。

由於旋度的散度等於零，再根據高斯定律，可以得到想要的關係式

${\displaystyle 0=\nabla \cdot \mathbf {J} +\epsilon _{0}{\frac {\partial }{\partial t}}(\nabla \cdot \mathbf {E} )=\nabla \cdot \mathbf {J} +{\frac {\partial \rho }{\partial t}}}$ 。

換另外一種比較直覺的推導方法。流入某體積 ${\displaystyle \mathbb {V} }$ 的淨電流為

${\displaystyle I=-\oint _{\mathbb {S} }\mathbf {J} \cdot \mathrm {d} ^{2}\mathbf {r} }$ ；

其中，${\displaystyle I}$ 是電流，${\displaystyle \mathbb {S} }$ 是包圍體積 ${\displaystyle \mathbb {V} }$ 的閉曲面，${\displaystyle \mathrm {d} \mathbf {r} ^{2}}$ 是微小面向量元素，垂直於 ${\displaystyle \mathbb {S} }$ 從體積內朝外指出。

應用散度定理，將這方程式寫為

${\displaystyle I=-\int _{\mathbb {V} }\nabla \cdot \mathbf {J} \ \mathrm {d} ^{3}r}$ 。

總電荷量 ${\displaystyle Q}$ 與體積 ${\displaystyle \mathbb {V} }$ 內的電荷密度 ${\displaystyle \rho }$ 的關係為

${\displaystyle Q=\int _{\mathbb {V} }\rho \ \mathrm {d} ^{3}r}$ 。

電荷守恆要求，流入體積 ${\displaystyle \mathbb {V} }$ 的淨電流，等於體積 ${\displaystyle \mathbb {V} }$ 內總電荷量 ${\displaystyle Q}$ 的變率：

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} Q}{\mathrm {d} t}}=I=\int _{\mathbb {V} }{\frac {\partial \rho }{\partial t}}\ \mathrm {d} ^{3}r}$ 。

所以，

${\displaystyle \int _{\mathbb {V} }{\frac {\partial \rho }{\partial t}}+\mathbf {\nabla } \cdot \mathbf {J} \ \mathrm {d} ^{3}r=0}$ 。

對於任意體積 ${\displaystyle \mathbb {V} }$ ，上述方程式都成立。所以，可以將被積式提取出來：^[4]

${\displaystyle {\frac {\partial \rho }{\partial t}}+\nabla \cdot \mathbf {J} =0}$ 。

在一個體積區域 ${\displaystyle \mathbb {V} '}$ 內，源位置 ${\displaystyle \mathbf {r} '}$ 的電荷密度為 ${\displaystyle \rho (\mathbf {r} ')}$ 的電荷分佈，所產生在場位置 ${\displaystyle \mathbf {r} \!}$ 的電勢為^[3]

${\displaystyle \phi (\mathbf {r} )={\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}\int _{\mathbb {V} '}{\frac {\rho (\mathbf {r} ')}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}\mathrm {d} ^{3}{r}'}$ ；

其中，${\displaystyle \mathrm {d} ^{3}{r}'}$ 是微小體積元素。

電場 ${\displaystyle \mathbf {E} }$ 是電勢的負梯度：

${\displaystyle \mathbf {E} (\mathbf {r} )=-{\boldsymbol {\nabla }}\phi (\mathbf {r} )={\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}\int _{\mathbb {V} '}\rho (\mathbf {r} '){\frac {\mathbf {r} -\mathbf {r} '}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|^{3}}}\mathrm {d} ^{3}{r}'}$ 。

應用向量關係式

${\displaystyle {\boldsymbol {\nabla }}\cdot {\frac {\mathbf {r} -\mathbf {r} '}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|^{3}}}=4\pi \delta (\mathbf {r} -\mathbf {r} ')}$ ，

取散度於電場，

${\displaystyle {\boldsymbol {\nabla }}\cdot \mathbf {E} (\mathbf {r} )=-\nabla ^{2}\phi (\mathbf {r} )={\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}\int _{\mathbb {V} '}\rho (\mathbf {r} ')4\pi \delta (\mathbf {r} -\mathbf {r} ')\mathrm {d} ^{3}{r}'}$ ，

可以得到高斯定律的微分形式

${\displaystyle {\boldsymbol {\nabla }}\cdot \mathbf {E} (\mathbf {r} )={\frac {\rho (\mathbf {r} )}{\epsilon _{0}}}}$ ，

和帕松方程式

${\displaystyle \nabla ^{2}\phi (\mathbf {r} )=-{\frac {\rho (\mathbf {r} )}{\epsilon _{0}}}}$ 。

• 拉普拉斯方程式
• 恩绍定理
• 格林互反定理 (Green's reciprocity theorem)