指數映射 (李群)
從李代數到李群的映射
定義编辑
設 為微分流形, 為其上的仿射聯絡。給定任一點 。根據常微分方程的基本理論,存在切空間 中的開子集 及光滑映射 ,使得:
- 對每個 ,映射 是測地線。
- 承上, 。
對夠小的 ,映射 是唯一的。定義點 的指數映射為
由於常微分方程解的存在性只是局部性的,指數映射一般不能定義在整個 上,在黎曼流形的情形,霍普夫-里諾定理給出了充要條件。此外,指數映射通常也不是滿映射,而是 的一個鄰域。黎曼流形上由指數映射給出的坐標系稱作測地法坐標。
从几何上看,指数映射exp(p,v)是把切丛中的一个切向量v,映射到以(p,v)为初始条件的测地线从点p量起弧长等于|v|的点。
李群的情形编辑
設 為李群,取定左、右不變之仿射聯絡,可得在整個李代數上定義的指數映射 。這是聯繫李代數與李群的主要工具。李群的指數映射滿足下述性質:
- 重要的特例是 而 (伴隨作用),此時有
取 ,相應者便是尋常的指數函數 。取 ,相應者是恆等映射 。
事實上,對複李群及任何完備域上的解析李群都能定義指數映射。
文獻编辑
- Manfredo P. do Carmo, Riemannian Geometry, Birkhäuser (1992). ISBN 0-8176-3490-8. See Chapter 3.
- Jeff Cheeger and David G. Ebin, Comparison Theorems in Riemannian Geometry, Elsevier (1975).
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