實閉域
在數學中,實閉域或實封閉域是一類有序域,使得其中每個正元素皆可表為平方,且任何奇數次多項式都有根。以下將給出幾種等價的定義。
定義编辑
形式實域编辑
假設所論之域的特徵數皆為零。若在一個域 中, 無法寫成平方和(表法: ),則稱 是形式實的。
每個有序域都是形式實域;形式實的定義本身不涉及序結構,但藉由實閉包的存在性可證明每個形式實域皆帶序結構。
實封閉域编辑
一個實封閉域 若滿足下列等價條件,則稱之實封閉域:
- 上存在一個序結構,使得其中每個正元素皆可表為平方,且任何奇數次多項式都有根。
- 上存在一個序結構,使之滿足中間值定理。
- 對任意 ,或者 或者 ;且任何奇數次多項式都有根。
- 非代數封閉,而 代數封閉。
- 若 , 是形式實的,則 。
我們可以純以代數性質定義實封閉域,並由 得到唯一的序結構。
實閉包编辑
對任何形式實域 ,都存在代數擴張 ,使得 是實封閉的。我們稱 是 的一個實閉包。實閉包並不唯一。
若在 上固定一個序結構,並要求 的序結構與之相容;則此時實閉包 存在並唯一,且 。
例子编辑
模型論觀點编辑
實封閉域的研究首先由數學家展開,隨後引起了邏輯學家的興趣。採用形式語言 ,設 為實封閉域(帶序結構)的 -一階理論,塔斯基證明了 上有量詞消去;因此任兩個 的模型都是初等等價的。一方面,我們可運用 上的特有工具(微積分、拓撲等等)證明一般實封閉域上的一階句子;另一方面,則可透過適當的域擴張解決 上的問題,後一方向上最著名的成就是 Abraham Robinson 對希爾伯特第十七問題的證明。
如果改採形式語言 ,並取實封閉域的代數定義 ,此時則無法消去量詞(在 中考慮公式 )。
設 是實封閉域,換言之 ,根據 上的量詞消去, 上的可定義集只是有限多個線段與孤立點的聯集。此性質稱作O-極小性,它較量詞消去為弱,卻是研究 上可定義集的幾何構造之關鍵。
文獻编辑
- Chang, Chen Chung and Keisler, H. Jerome: Model Theory, North-Holland, 1989.
- H. Garth Dales and W. Hugh Woodin: Super-Real Fields, Clarendon Press, 1996.
- Computational Real Algebraic Geometry, Bhubaneswar Mishra, Handbook of Discrete and Computational Geometry, CRC Press, 1997 (Postscript 版本 (页面存档备份,存于互联网档案馆)); 亦見 2004 edition, p. 743, ISBN 1-58488-301-4
- Saugata Basu, Richard Pollack and Marie-Françoise Roy, Algorithms in real algebraic geometry, Springer, Algorithms and computation in mathematics, 2003, ISBN 3540330984 (在線版本)
- Bob F. Caviness, Jeremy R. Johnson, editors, Quantifier elimination and cylindrical algebraic decomposition, Springer, 1998, ISBN 3211827943
🔥 Top keywords: Baike: 首页Special:搜索胖猫跳江事件背着善宰跑九龍城寨之圍城逆天奇案2璩静淚之女王歌手2024Energy (組合)新生 (网络剧)习近平匈牙利邊佑錫劉俊謙 (香港)金智媛神耆小子塞尔维亚金秀賢 (男演員)母亲节猩球崛起:王國誕生九龍寨城馴鹿寶貝家族榮耀之繼承者Seventeen (組合)六四事件不夠善良的我們张维为楊佩潔TripleS支配物种庆余年郭葦昀洪若潭命案金惠奫2024年英雄联盟季中邀请赛春色寄情人BABYMONSTER笑看風雲乘風2024排球少年!!角色列表破墓徐巧芯中华人民共和国中華民國打天下2WIND BREAKER—防風少年—习明泽排球少年!!彭丽媛磁暴ILLIT贾斯汀·比伯逆天奇案BOYNEXTDOOR猿人爭霸戰:猩凶革命張書偉我的婆婆怎麼那麼可愛我獨自升級怪獸8號謝坤達IVE (組合)與鳳行關於我轉生變成史萊姆這檔事角色列表黃道十二宮福建號航空母艦虽然不是英雄葉乃文五月天張員瑛草榴社区張文傑2024年花蓮地震极光香緹·摩爾迷宮飯呂家愷搜查班長1958日本劉德華海莉·鮑德溫蕭景鴻越位 (足球)葬送的芙莉蓮周處除三害 (電影)毛泽东願榮光歸香港林峯周雨彤伍允龍羅毓儀香港Baike: 分類索引沒有秘密猩球崛起:終極決戰角質層唐振剛柯佳嬿文化大革命