介值定理

設 ${\displaystyle I=[a,b]}$ ，其中 ${\displaystyle a<b}$ ，且 ${\displaystyle f\colon I\to \mathbb {R} }$ 為一連續函數。則下列敘述成立：

• 對任意滿足 ${\displaystyle (f(a)-u)(f(b)-u)<0}$ 的實數 ${\displaystyle u}$ ，皆存在一實數 ${\displaystyle c\in (a,b)}$ 使得 ${\displaystyle f(c)=u}$ 。
• ${\displaystyle f(I)}$ 為一包含 ${\displaystyle f(a)}$ 與 ${\displaystyle f(b)}$ 的閉區間。

先证明第一种情况${\displaystyle f(a)<u<f(b)}$ ；第二种情况也类似。${\displaystyle }$

设${\displaystyle S}$ 为${\displaystyle [a,b]}$ 内所有${\displaystyle x}$ 的集合，使得${\displaystyle f(x)\leqslant u}$ 。那么${\displaystyle S}$ 是非空的，因为${\displaystyle a}$ 是${\displaystyle S}$ 的一个元素，且${\displaystyle S}$ 是上有界的，其上界为${\displaystyle b}$ 。于是，根据实数的完备性，最小上界${\displaystyle c=\mathrm {sup} }$ ${\displaystyle S}$ 一定存在。我们来证明${\displaystyle f(c)=u}$ 。

• 假设${\displaystyle f(c)>u}$ 。那么${\displaystyle f(c)-u>0}$ ，因此存在${\displaystyle \delta >0}$ ，使得当${\displaystyle \left|x-c\right|<\delta }$ 时，就有${\displaystyle \left|f(x)-f(c)\right|<f(c)-u}$ ，因为${\displaystyle f}$ 是连续函数。但是，这样一来，当${\displaystyle \left|x-c\right|<\delta }$ 时，就有${\displaystyle f(x)>f(c)-(f(c)-u)=u}$ （也就是说，对于${\displaystyle (c-\delta ,c+\delta )}$ 内的${\displaystyle x}$ ，${\displaystyle f(x)}$ 皆${\displaystyle >u}$ ）。但參照上述定義，因为${\displaystyle c=\mathrm {sup} }$ ${\displaystyle S}$ , 因此存在${\displaystyle x'\in (c-\delta ,c]}$ ，使得${\displaystyle f(x')\leqslant u}$ , 所以我们有：${\displaystyle f(x')>u}$ 并且${\displaystyle f(x')\leqslant u}$ , 这显然是矛盾的。
• 假设${\displaystyle f(c)<u}$ 。根据连续性，存在一个${\displaystyle \delta >0}$ ，使得当${\displaystyle \left|x-c\right|<\delta }$ 时，就有${\displaystyle \left|f(x)-f(c)\right|<u-f(c)}$ 。那么对于${\displaystyle (c-\delta ,c+\delta )}$ 内的${\displaystyle x}$ ，都有${\displaystyle f(x)<f(c)+(u-f(c))=u}$ ，因此存在大于${\displaystyle c}$ 的${\displaystyle x}$ ，使得${\displaystyle f(x)<u}$ ，这与${\displaystyle c}$ 的定义矛盾。

因此${\displaystyle f(c)=u}$ 。

此定理仰賴於實數完備性，它對有理數不成立。例如函數${\displaystyle f(x)=x^{2}-2}$ 滿足${\displaystyle f(0)=-2,f(2)=2}$ ，但不存在滿足${\displaystyle f(x)=0}$ 的有理數${\displaystyle x}$ 。

零点定理是介值定理的一种特殊情况－如果曲線上兩點的值正負號相反，其間必定存在一個根：

设函数${\displaystyle f(x)}$ 在闭区间${\displaystyle [a,b]}$ 上连续，且${\displaystyle f(a)\cdot f(b)<0}$ ，则必存在${\displaystyle \xi \in (a,b)}$ 使${\displaystyle f(\xi )=0}$ 成立。由於零点定理可用來找一方程式的根，也稱為勘根定理。伯纳德·波尔查诺於1817年證明了這個定理，同時證明了這個定理的一般情況（即介值定理）。以現代的標準來說，他的證明並不算是非常嚴格。^[1]

介值定理意味着在地球的任何大圆上，温度、压强、海拔、二氧化碳的浓度（或其他任何连续变化的变量），总存在两个对蹠点，在这两个点上该变量的值是相同的。

证明：取f为圆上的任何连续函数。通过圆的中心作一条直线，与圆相交于点A和点B。设d为f(A) − f(B)的差。如果把这条直线旋转180度，将得到值−d。根据介值定理，一定存在某个旋转角，使得d = 0，在这个角度上便有f(A) = f(B)。

这是一个更加一般的结果——博苏克-乌拉姆定理的特殊情况。

• 中值定理
• 极值定理
• 達布定理

• cut-the-knot上的介值定理-波尔查诺定理（页面存档备份，存于互联网档案馆）
• 埃里克·韦斯坦因. Intermediate Value Theorem. MathWorld.