有限域

• 有限域的阶（有限域中元素的个数）是一个素数的幂。
• 对于每个素数p和每个正整数n在同构的意义下存在惟一的${\displaystyle p^{n}}$ 阶的有限域，并且所有元素都是方程 ${\displaystyle x^{p^{n}}-x=0}$ 的根，该域的特征为p。
• 有限域的乘法群是循环群。即若F是有限體，则存在${\displaystyle \alpha \in F}$ 使得${\displaystyle F^{*}=\{x\in F|x\neq 0\}=\langle \alpha \rangle }$ 。
• 有限域是完美域，即它的任何代数扩张一定是可分扩张。
• 有限域的有限扩张一定是伽罗瓦扩张，并且对应的伽罗瓦群是循环群。

設 q = pⁿ 為質數冪， F 為多項式

${\displaystyle P=X^{q}-X}$

於質數域 GF(p) 上的分裂域。換言之， F 是最低階的有限域，使得 P 在 F 內有 q 個互異的根（注意 P 的形式導數（英语：formal derivative）為 ${\displaystyle -1\neq 0}$ ，因此 P 無重根）。

利用二項式定理，可證恆等式

${\displaystyle (x+y)^{p}=x^{p}+y^{p}}$

在特徵為 p 的域上成立（中一新生之夢）。此恆等式說明 P 任兩根之和或積仍為 P 的根。同時， P 的根的乘法逆元仍是根，因此 P 的根構成一個 q 階的域。由 F 的最小性，可知此域即為 F。

由於分裂域在同構意義下唯一， q 階域也在同構意義下唯一（已證其為 ${\displaystyle P=X^{q}-X}$ 的分裂域）。而且，若域 F 有一個階為 ${\displaystyle q=p^{k}}$ 的子域，則其元素恰為 ${\displaystyle X^{q}-X}$ 的 q 個根，所以 F 不能包含另一個階為 q 的子域。

E·H·摩爾於 1893 年證明了以下的分類定理，可作為本節的總結：^[1]

有限域的階為質數冪。對任意一個質數冪 q, 都存在 q 階的域，並且任意兩個 q 階的域都同構。該些域中，任意的元素 x 都滿足

${\displaystyle x^{q}=x,}$

且多項式 X^q − X 可分解成

${\displaystyle X^{q}-X=\prod _{a\in F}(X-a).}$

由此可知，GF(pⁿ) 有同構於 GF(p^m) 的子域當且僅當 m 整除 n；該情況下，僅有唯一的子域與 GF(p^m) 同構。多項式 X^pm − X 整除 X^pn − X 也是當且僅當 m 整除 n.

設 p 為質數， q = pⁿ 為質數冪。

在 GF(q) 中，恆等式 (x + y)^p = x^p + y^p 說明映射

${\displaystyle \varphi :x\mapsto x^{p}}$

是 GF(q) 上 GF(p)-線性的域自同構，其保持子域 GF(p) 的元素。該映射稱為弗罗贝尼乌斯自同構，得名於费迪南德·格奥尔格·弗罗贝尼乌斯。

記 φ^k 為 φ 的 k 次疊代，則

${\displaystyle \varphi ^{k}:x\mapsto x^{p^{k}}.}$

此前已證明 φⁿ 為恆同映射。若 0 < k < n, 則自同構 φ^k 並非恆同映射，否則多項式

${\displaystyle X^{p^{k}}-X}$

就有多於 p^k 個根，矛盾。

此外 GF(q) 並無其他 GF(p)-自同構。換言之，GF(pⁿ) 恰有 n 個 GF(p)-自同構，其為

${\displaystyle \mathrm {Id} =\varphi ^{0},\varphi ,\varphi ^{2},\ldots ,\varphi ^{n-1}.}$

以伽羅瓦理論觀之， GF(pⁿ) 是 GF(p) 的伽羅瓦擴展，且其伽羅瓦群為循環群。

弗羅貝尼烏斯映射為滿射，因此任意一個有限域都是完美域（英语：perfect field）。

F₂:

F₃:

F₄: 考虑${\displaystyle x^{2}+x+1=0,}$ 方程的根不在F₂中。記其中一根為A, 則${\displaystyle A^{2}+A+1=0,}$ 且另一根為${\displaystyle B=A^{2}.}$

• 《近世代数》

• 域论