餘切

余切最早用符号tan.com表示^{[來源請求]}，该符号同正切一样，最初由T.芬克使用。后来人们又逐渐将该符号简化为ctg，后来又改为cot，与现代符号完全相同。

直角三角形中编辑

在直角三角形中，一个锐角的餘切定义为它的鄰邊与對邊的比值，也就是：

${\displaystyle \cot \theta ={\frac {\mathrm {b} }{\mathrm {a} }}\,\!}$

可以發現其定義和正切函數互為倒數。

直角坐标系中编辑

设${\displaystyle \alpha }$ 是平面直角坐标系xOy中的一个象限角，${\displaystyle P\left({x,y}\right)}$ 是角的终边上一点，${\displaystyle r={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}>0}$ 是P到原点O的距离，则α的正切定义为：

${\displaystyle \cot \alpha ={\frac {x}{y}}}$

单位圆定义编辑

图像中给出了用弧度度量的某个公共角。逆时针方向的度量是正角而顺时针的度量是负角。设一个过原点的线，同 x 轴正半部分得到一个角${\displaystyle \theta }$ ，并与单位圆相交，並令这个交点為y。另原點為O。做一直線，y點，垂直於${\displaystyle {\overline {Oy}}}$ ，並與单位圆相切，令直線與y軸的交點，則此點與y點之距離為餘切比值。

单位圆可以被认为是通过改变邻边和对边的长度，產生斜边等于 1 的无限数目個三角形的一种方式。

对于大于${\displaystyle 2\pi }$ （360°）或小于${\displaystyle -2\pi }$ （-360°）的角度，简单的继续绕单位圆旋转。在这种方式下，有些三角函數变成了周期为${\displaystyle 2\pi }$ （360°）的周期函数；但由於餘切是切線，再绕单位圆旋转時，會出現周期是${\displaystyle \pi }$ （180°），所以正切是周期为${\displaystyle \pi }$ （180°）的周期函数:

${\displaystyle \cot \theta =\cot \left(\theta +\pi k\right)=\cot \left(\theta +180^{\circ }k\right)}$

对于任何角度${\displaystyle \theta }$ 和任何整数${\displaystyle k}$ 。

級數定義编辑

餘切函數也可以使用泰勒展開式定義

${\displaystyle \cot x={\frac {1}{x}}-{\frac {x}{3}}-{\frac {x^{3}}{45}}-{\frac {2x^{5}}{945}}-{\frac {x^{7}}{4725}}-{\frac {2x^{9}}{93555}}+...={\frac {1}{x}}-\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {B_{2n}4^{n}}{(2n)!}}x^{2n-1}.}$

其中${\displaystyle B_{2n}}$ 為伯努利數。

另外，我们也有

${\displaystyle \cot x={\frac {1}{x}}-2x\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{2}\pi ^{2}-x^{2}}}.}$

微分方程定义编辑

cot的微分是負csc的平方

${\displaystyle \cot 'x\ =-\csc ^{2}x}$

另外

${\displaystyle \int \cot x\,dx=\ln(\sin x)}$

所以可以用

${\displaystyle \cot x=(\ln(\sin x))'\,}$ 來定義。

指数定义编辑

${\displaystyle \cot \theta ={\frac {{\mathrm {i} }(e^{{\mathrm {i} }\theta }+e^{-{\mathrm {i} }\theta })}{e^{{\mathrm {i} }\theta }-e^{-{\mathrm {i} }\theta }}}\,}$

用其它三角函数来表示餘切编辑

函數	${\displaystyle \sin }$	${\displaystyle \cos }$	${\displaystyle \tan }$	${\displaystyle \cot }$	${\displaystyle \sec }$	${\displaystyle \csc }$
${\displaystyle \cot \theta }$	${\displaystyle {{\sqrt {1-\sin ^{2}\theta }} \over \sin \theta }}$	${\displaystyle {\cos \theta \over {\sqrt {1-\cos ^{2}\theta }}}}$	${\displaystyle {1 \over \tan \theta }}$	${\displaystyle \cot \theta \ }$	${\displaystyle {1 \over {\sqrt {\sec ^{2}\theta -1}}}}$	${\displaystyle {\sqrt {\csc ^{2}\theta -1}}}$

和差角公式编辑

${\displaystyle \cot(\theta \pm \psi )={\frac {\cot \theta \cot \psi \mp 1}{\cot \psi \pm \cot \theta }}}$

二倍角公式编辑

${\displaystyle {\begin{aligned}\cot 2\theta &={\frac {\cot ^{2}\theta -1}{2\cot \theta }}\\&={\frac {1}{\cot \theta -1}}-{\frac {1}{\cot \theta +1}}\\\end{aligned}}}$

半角公式编辑

${\displaystyle {\begin{aligned}\cot {\frac {\theta }{2}}&=\csc \theta +\cot \theta \\&=\pm \,{\sqrt {1+\cos \theta \over 1-\cos \theta }}\\&={\frac {\sin \theta }{1-\cos \theta }}\\&={\frac {1+\cos \theta }{\sin \theta }}\\&={\frac {\cos \theta -\sin \theta +1}{\cos \theta +\sin \theta -1}}\end{aligned}}}$

三倍角公式编辑

${\displaystyle \cot 3\theta ={\frac {\cot ^{3}\theta -3\cot \theta }{3\cot ^{2}\theta -1}}}$

余切定理是三角学中关于三角形内切圆半径的定理。

假设${\displaystyle \alpha }$ , ${\displaystyle \beta }$ , 与${\displaystyle \gamma }$ 是三角形的三个内角，${\displaystyle a}$ , ${\displaystyle b}$ , 与${\displaystyle c}$ 是与之对应的三个对边，若

${\displaystyle \zeta ={\sqrt {{\frac {1}{s}}(s-a)(s-b)(s-c)}}}$ （这个三角形的内切圆半径），其中：

${\displaystyle s={\frac {a+b+c}{2}}}$ （${\displaystyle s}$ 就是三角形的半周长），

那么余切定理告诉我们：^[1]

${\displaystyle \cot {\frac {\alpha }{2}}={\frac {s-a}{\zeta }}}$

${\displaystyle \cot {\frac {\beta }{2}}={\frac {s-b}{\zeta }}}$

${\displaystyle \cot {\frac {\gamma }{2}}={\frac {s-c}{\zeta }}}$

还有

${\displaystyle {\frac {\cot {\frac {\alpha }{2}}}{s-a}}={\frac {\cot {\frac {\beta }{2}}}{s-b}}={\frac {\cot {\frac {\gamma }{2}}}{s-c}}.}$

总而言之：余切定理就是某个角一半的余切等于半周长减去这个角所对的边长再除以三角形的内切圆半径。

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