严谨 (数学)
数学术语
数学上,严谨(rigor,mathematical rigor)不同于生活中的严谨,它指数学系统尤指公理系统的完备性和自洽性。
完备性指公理数量不多不少正好可以推理出这门学科的全部结论;自洽性指公理系统内不存在悖论(即既是真又是假的命题)。比如仿射几何加上平行公设就成为欧几里得几何,或者加上第五公设的反命题就成为非欧几何之一,但后两者并不满足完备性要求,只有仿射几何学才是欧几里得几何类中的完备系统。一致性与哥德爾不完備定理并不矛盾,前者断言不存在既真又假的命题,而后者断言存在既不可证明又不可证伪的命题,就好比第五公设之于欧几里得几何,连续统假设之于公理化集合论,选择公理之于策梅洛-弗兰克尔集合论。
數學的嚴謹编辑
數學的嚴謹可以應用於數學的證明方法和數學的實踐方法
數學證明编辑
數學的嚴謹經常被認為是數學證明的標準。 其的歷史可追溯至希臘時期的數學,特別是歐幾裡得的《幾何原本》。
直到19 世紀,歐幾裡得的《幾何原本》都被視為極其嚴謹和深刻。然而,在19 世紀末,希爾伯特意識到該著作隱含了某些假設,而這些假設無法從歐幾裡得的公理中得到證明。
例如:兩個圓可以相交於一點,某個點在一個角度內,並且圖形可以相互疊加)。
這與數學中的嚴格證明的理念相反,在嚴格證明中,所有假設都需要陳述,並且不能隱含任何內容。因此,數學家用公理系統開發了新的基礎,以解決《幾何原本》中不嚴謹的地方。(例如希爾伯特公理、伯克霍夫公理、塔斯基公理)。
物理證明编辑
數學嚴謹對物理學有兩個問題:
- 有一個普遍的問題,有時被稱為維格納之謎:“數學如何普遍適用於自然?”,而一些科學家認為,對於自然的紀錄證明了數學適用於物理研究
- 有一個關於數學結果與關係是否嚴謹的問題。該問題對量子場論甚為煩人,因為在量子場論中,計算通常會產生無限值,而為解決這些問題,科學家設計了各種不嚴格的解決方法。
物理學中數學嚴謹的兩個問題都引起了科學哲學的廣泛關注。
参考文献编辑
- 参见徐利治的《微积分大意》
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