高斯磁定律

高斯磁定律的方程式可以寫為兩種形式：微分形式和積分形式。根據散度定理，這兩種形式為等價的。

高斯磁定律的微分形式為

${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {B} =0\,\!}$ ；

其中，${\displaystyle \mathbf {B} \,\!}$ 是磁感應強度。

這是馬克士威方程組中的一個方程式。

高斯磁定律的積分形式為

${\displaystyle \oiint }$ ${\displaystyle {\mathbb {S} }}$ ${\displaystyle \mathbf {B} \cdot {\rm {d}}\mathbf {s} =0}$

其中，${\displaystyle \mathbb {S} \,\!}$ 是一個閉曲面，${\displaystyle \mathrm {d} \mathbf {s} \,\!}$ 是微小面積分（請參閱曲面積分）。

這方程式的左手邊項目，稱為通過閉曲面的淨磁通量。高斯磁定律闡明這淨磁通量永遠等於零。

根據亥姆霍兹分解（Helmholtz decomposition），因為磁場的散度等於零，必定存在有向量場 ${\displaystyle \mathbf {A} \,\!}$ 滿足條件

${\displaystyle \mathbf {B} =\nabla \times \mathbf {A} \,\!}$ 。

這向量場 ${\displaystyle \mathbf {A} \,\!}$ 稱為磁向量勢。

請注意並不是只有一個向量場 ${\displaystyle \mathbf {A} \,\!}$ 滿足這條件。實際上，有無限多個解答。應用一項向量恆等式，

${\displaystyle \nabla \times (\nabla \phi )=0\,\!}$ ，

給予任意函數 ${\displaystyle \phi \,\!}$ ，那麼， ${\displaystyle \mathbb {A} =\mathbf {A} +\nabla \phi \,\!}$ 也是一個解答。磁向量勢的這種特性，稱為規範自由。

磁場，就像任何向量場，可以用場線來描繪其軌跡。磁場線是一組曲線，其方向對應於磁場的方向，其面密度與磁場的大小成正比。因為磁場的散度等於零，磁場線沒有初始點，也沒有終結點。磁場線或者形成一個閉迴圈，或者兩個端點都延伸至無窮遠。

假若，有科學家發現磁單極子存在於宇宙，則高斯磁定律不正確，必須修正。磁場的散度會與磁荷密度 ${\displaystyle \rho _{m}\,\!}$ 成正比^[1]：

${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {B} =\mu _{0}\rho _{m}\,\!}$ 。

其中，${\displaystyle \mu _{0}\,\!}$ 是磁常數。

從必歐-沙伐定律，可以推導出高斯磁定律。必歐-沙伐定律闡明，設定電流密度 ${\displaystyle \mathbf {J} (\mathbf {r} ')\,\!}$ ，則磁場為

${\displaystyle \mathbf {B} (\mathbf {r} )={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}\int _{\mathbb {V} '}d^{3}r'\mathbf {J} (\mathbf {r} ')\times {\frac {\mathbf {r} -\mathbf {r} '}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|^{3}}}\,\!}$ ；

其中，${\displaystyle \mathbf {r} '\,\!}$ 是源位置，${\displaystyle \mathbf {r} \,\!}$ 是場位置，${\displaystyle \mathbb {V} '\,\!}$ 是積分的體積，${\displaystyle d^{3}r'\,\!}$ 是微小體積元素。

應用一項向量恆等式，

${\displaystyle {\frac {\mathbf {r} -\mathbf {r} '}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|^{3}}}=-\nabla \left({\frac {1}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}\right)\,\!}$ ，

將這恆等式帶入必歐-沙伐方程式。由於梯度只作用於無單撇號的坐標，可以移到積分外，改為旋度：

${\displaystyle \mathbf {B} (\mathbf {r} )={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}\nabla \times \int _{\mathbb {V} '}d^{3}r'{\frac {\mathbf {J} (\mathbf {r} ')}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}\,\!}$ 。

應用一項向量恆等式，

${\displaystyle \nabla \cdot (\nabla \times \mathbf {A} )=0\,\!}$ 。

所以，高斯磁定律成立：

${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {B} =0\,\!}$ 。

• 磁矩
• 安培力定律
• 必歐-沙伐定律
• 電磁場的數學表述