算法编辑
对于一个含有n个未知量及n个等式的如下线性方程组
为了求这个方程组的解 ,我们使用迭代法。k用来计量迭代步数。给定该方程组解的一个近似值 。在求k+1步近似值时,我们利用第m个方程求解第m个未知量。在求解过程中,所有已解出的k+1步元素都被直接使用。这一点与雅可比法不同。对于每个元素可以使用如下公式
重复上述的求解过程,可以得到一个线性方程组解的近似值数列: 。在该方法收敛的前提下,此数列收敛于 . 可以證明數列收斂若線性方程組係數矩陣為對稱正定矩陣(symmetric positive definite matrix)或對角優勢矩陣(diagonally dominant matrix)。
为了保证该方法可以进行,主对角线元素 需非零。
矩阵分解编辑
线性方程组的系数 可以被写成矩阵形式 , 该矩阵的第i行第j列元素满足 。方程组的右边项可以被写成向量形式 。 线性方程组因此可以被写成矩阵运算形式
矩阵 可以分解成如下形式
,
其中 为一个对角矩阵满足 , 均为严格三角矩阵: 为严格下三角矩阵, 为严格上三角矩阵。
例子
, , , .
高斯-赛德尔迭代的每一步可以写成如下形式
.
此形式的导出 |
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如上形式来自于高斯-赛德尔迭代的元素公式: 对于第m个未知量 , 我们可以得出 已知 , 以及 ,因此可以得出 . |
算法编辑
參見编辑