雅可比法

给定一个n×n的线性方程组

${\displaystyle A\mathbf {x} =\mathbf {b} }$

其中:

${\displaystyle A={\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots &a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\cdots &a_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{n1}&a_{n2}&\cdots &a_{nn}\end{bmatrix}},\qquad \mathbf {x} ={\begin{bmatrix}x_{1}\\x_{2}\\\vdots \\x_{n}\end{bmatrix}},\qquad \mathbf {b} ={\begin{bmatrix}b_{1}\\b_{2}\\\vdots \\b_{n}\end{bmatrix}}.}$

A 可以分解成对角部分D和剩余部分R:

${\displaystyle A=D+R\qquad {\text{其 中}}\qquad D={\begin{bmatrix}a_{11}&0&\cdots &0\\0&a_{22}&\cdots &0\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0&\cdots &a_{nn}\end{bmatrix}},\qquad R={\begin{bmatrix}0&a_{12}&\cdots &a_{1n}\\a_{21}&0&\cdots &a_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{n1}&a_{n2}&\cdots &0\end{bmatrix}}}$

线性方程组可以重写为:

${\displaystyle D\mathbf {x} =\mathbf {b} -R\mathbf {x} }$

雅可比法是一种迭代方法。在每一次迭代中，上一次算出的x被用在右侧，用来算出左侧的新的x。这个过程可以如下表示：

${\displaystyle \mathbf {x} ^{(k+1)}=D^{-1}(\mathbf {b} -R\mathbf {x} ^{(k)}).}$

对每个元素可以用以下公式：

${\displaystyle x_{i}^{(k+1)}={\frac {1}{a_{ii}}}\left(b_{i}-\sum _{j\neq i}a_{ij}x_{j}^{(k)}\right),\quad i=1,2,\ldots ,n.}$

注意计算 x_i^(k+1)需要x^(k)中除了自己之外的每个元素。 不像高斯-赛德尔迭代，我们不能用 x_i^(k+1)覆盖x_i^(k)，因为在接下来的计算中还要用到这些值。这是雅可比和高斯-塞德尔方法最显著的差别，也是为什么前者可以用并行算法而后者不能的原因。最小需要的存储空间是两个长度为n的向量。

选择一个初始猜想值${\displaystyle x^{0}}$

while 未收敛

for i := 1 step until n do

${\displaystyle \sigma =0}$

for j := 1 step until n do

if j != i then

${\displaystyle \sigma =\sigma +a_{ij}x_{j}^{(k-1)}}$

end if

end (j-loop)

${\displaystyle x_{i}^{(k)}={{\left({b_{i}-\sigma }\right)} \over {a_{ii}}}}$

end (i-loop)

检查是否收敛

end (未收敛时继续循环)

标准的收敛情况是当迭代矩阵的谱半径

${\displaystyle \rho (D^{-1}R)<1.}$ ^[1]

保证收敛的条件是矩阵A为严格或不可约地对角占优矩阵。严格的行对角占优矩阵指对于每一行，对角线上的元素之绝对值大于其余元素绝对值的和，即

${\displaystyle \left|a_{ii}\right|>\sum _{j\neq i}{\left|a_{ij}\right|}.}$

有时即使不满足此条件，雅可比法仍可收敛。

一个形如 ${\displaystyle Ax=b}$ 的线性方程，估计初始${\displaystyle x^{(0)}}$ ：

${\displaystyle A={\begin{bmatrix}2&1\\5&7\\\end{bmatrix}},\ b={\begin{bmatrix}11\\13\\\end{bmatrix}},\quad x^{(0)}={\begin{bmatrix}1\\1\\\end{bmatrix}}.}$

我们用上文描述的方程${\displaystyle x^{(k+1)}=D^{-1}(b-Rx^{(k)})}$ 来估计${\displaystyle x}$ 。首先，将等式写为${\displaystyle D^{-1}(b-Rx^{(k)})=Tx^{(k)}+C}$ 以方便计算，其中${\displaystyle T=-D^{-1}R}$ 和${\displaystyle C=D^{-1}b}$ 。注意 ${\displaystyle R=L+U}$ 中的 ${\displaystyle L}$ 和${\displaystyle U}$ 是${\displaystyle A}$ 的严格递增和递减部分。变成如下数值：

${\displaystyle D^{-1}={\begin{bmatrix}1/2&0\\0&1/7\\\end{bmatrix}},\ L={\begin{bmatrix}0&0\\5&0\\\end{bmatrix}},\quad U={\begin{bmatrix}0&1\\0&0\\\end{bmatrix}}.}$

令 ${\displaystyle T=-D^{-1}(L+U)}$ as

${\displaystyle T={\begin{bmatrix}1/2&0\\0&1/7\\\end{bmatrix}}\left\{{\begin{bmatrix}0&0\\-5&0\\\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}0&-1\\0&0\\\end{bmatrix}}\right\}={\begin{bmatrix}0&-0.5\\-0.714&0\\\end{bmatrix}}.}$

解出C为：

${\displaystyle C={\begin{bmatrix}1/2&0\\0&1/7\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}11\\13\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}5.5\\1.857\\\end{bmatrix}}.}$

用计算出来的T和C，我们估计${\displaystyle x}$ 为${\displaystyle x^{(1)}=Tx^{(0)}+C}$

${\displaystyle x^{(1)}={\begin{bmatrix}0&-0.5\\-0.714&0\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}1\\1\\\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}5.5\\1.857\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}5.0\\1.143\\\end{bmatrix}}.}$

继续迭代得：

${\displaystyle x^{(2)}={\begin{bmatrix}0&-0.5\\-0.714&0\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}5.0\\1.143\\\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}5.5\\1.857\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}4.929\\-1.713\\\end{bmatrix}}.}$

这个过程一直重复直到收敛（直到${\displaystyle \|Ax^{(n)}-b\|}$ 足够小）。这个例子在25次迭代之后的解是

${\displaystyle x={\begin{bmatrix}7.111\\-3.222\end{bmatrix}}.}$

1. ^ ^{1.0 1.1} [1] （页面存档备份，存于互联网档案馆）,解线性方程组的迭代法

• Black, Noel; Moore, Shirley; and Weisstein, Eric W. Jacobi method. MathWorld. 
• Jacobi Method from www.math-linux.com （页面存档备份，存于互联网档案馆）
• Module for Jacobi and Gauss–Seidel Iteration
• Numerical matrix inversion （页面存档备份，存于互联网档案馆）