非构造性证明
非构造性证明是「表述存在性的命题或定理」的一种证明方式:证明的过程中,不举例而只证明语句是否正确。非构造性证明很多时候依赖于排中律。数学结构主义数学不允许非构造性证明。
例一编辑
A、B两人进行这样一个数学游戏:在黑板上轮流写下1到2000中的任意一个整数(含边界,A先写),但不能写下任何黑板上已存在的数的因子。當一方不能寫出數字時該方則輸。问:谁有必胜策略?
证明编辑
- 考虑一种新的游戏:A'、B'在黑板上轮流写下2到2000中的任意一个整数(含边界,A'先写),但不能写下任何黑板上已存在的数的因子。當一方不能寫出數字時該方則輸。在这个游戏中谁有必胜策略?
- 如果A'有必胜策略,那么A在原游戏中也采用这个策略。注意,1在以后的过程中再也不能写上了(因为它是任何数的因子)。由于在新游戏中A'有必胜策略,所以在原游戏中,A有必胜策略。
- 如果B'有必胜策略,那么A在原游戏中先写上1。这就相当于构建了上述新游戏,B是新游戏中的A',A是新游戏中的B'。由于在新游戏中B'有必胜策略,所以在原游戏中,A有必胜策略。
- 综上所述,A有必胜策略。
上述证明过程中并没有找出具体的必胜策略,但是仍然证明了A有必胜策略。
例二编辑
比如要证明一个简单的命题:
- 超越数存在。
证明编辑
证明过程并没有找出任何一个超越数,但是依然证明了上述命题的正确性。
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