在向量分析 中,雅可比矩阵 (也称作Jacobi矩陣 ,英語:Jacobian matrix )是函數 的一阶偏导数 以一定方式排列成的矩阵 。
當其為方形矩阵時,其行列式 称为雅可比行列式 (Jacobi determinant)。要注意的是,在英文中雅可比矩陣跟雅可比行列式都可稱作Jacobian 。[1]
其重要性在於,如果函數 f : ℝn → ℝm 在點 x 可微的話,在點 x 的雅可比矩陣即為該函數在該點的最佳線性逼近,也代表雅可比矩陣是單變數實數函數的微分在向量值多變數函數的推廣,在這種情況下,雅可比矩陣也被稱作函數 f 在點 x 的微分 或者導數 。
在代数几何 中,代数曲线 的雅可比行列式' 表示雅可比簇 :伴随该曲线的一个代數群 ,曲线可以嵌入其中。
它们全部都以普魯士 数学家 卡爾·雅可比 命名。
雅可比矩阵 编辑
假設某函數從 f : ℝn → ℝm , 從 x ∈ ℝn 映射到 向量 f (x ) ∈ ℝm , 其雅可比矩陣是一 m ×n 的矩陣,換句話講也就是從 ℝn 到 ℝm 的線性映射,其重要意義在于它表現了一个多變數向量函數的最佳线性逼近。因此,雅可比矩阵类似于單變數函数的导数。
此函數 f 的雅可比矩陣 J 為 m ×n 的矩陣,一般由以下方式定義:
J = [ ∂ f ∂ x 1 ⋯ ∂ f ∂ x n ] = [ ∂ f 1 ∂ x 1 ⋯ ∂ f 1 ∂ x n ⋮ ⋱ ⋮ ∂ f m ∂ x 1 ⋯ ∂ f m ∂ x n ] {\displaystyle \mathbf {J} ={\begin{bmatrix}{\dfrac {\partial \mathbf {f} }{\partial x_{1}}}&\cdots &{\dfrac {\partial \mathbf {f} }{\partial x_{n}}}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}{\dfrac {\partial f_{1}}{\partial x_{1}}}&\cdots &{\dfrac {\partial f_{1}}{\partial x_{n}}}\\\vdots &\ddots &\vdots \\{\dfrac {\partial f_{m}}{\partial x_{1}}}&\cdots &{\dfrac {\partial f_{m}}{\partial x_{n}}}\end{bmatrix}}} 矩陣的分量可表示成:
J i j = ∂ f i ∂ x j {\displaystyle \mathbf {J} _{ij}={\frac {\partial f_{i}}{\partial x_{j}}}} 雅可比矩陣的其他常用符號還有:
D f {\displaystyle Df} 、 D f {\displaystyle \mathrm {D} \mathbf {f} } 、 J f ( x 1 , … , x n ) {\displaystyle \mathbf {J} _{\mathbf {f} }(x_{1},\ldots ,x_{n})} 或者 ∂ ( f 1 , … , f m ) ∂ ( x 1 , … , x n ) {\displaystyle {\frac {\partial (f_{1},\ldots ,f_{m})}{\partial (x_{1},\ldots ,x_{n})}}} 此矩陣的第 i {\displaystyle i} 行是由函數 f i {\displaystyle f_{i}} 的梯度函数所表示的, 1 ≤ i ≤ m {\displaystyle 1\leq i\leq m} 。
如果 p {\displaystyle p} 是 R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} 中的一点, f {\displaystyle f} 在 p {\displaystyle p} 点可微分,根據數學分析 , J f ( p ) {\displaystyle \mathbf {J} _{\mathbf {f} }(p)} 是在这点的导数 。在此情况下, J f ( p ) {\displaystyle \mathbf {J} _{\mathbf {f} }(p)} 這個线性映射即 f {\displaystyle f} 在点 p {\displaystyle p} 附近的最优线性逼近,也就是說當 x {\displaystyle x} 足夠靠近點 p {\displaystyle p} 時,我們有
f ( x ) ≈ f ( p ) + J f ( p ) ⋅ ( x − p ) {\displaystyle f(x)\approx f(p)+\mathbf {J} _{\mathbf {f} }(p)\cdot (x-p)} 講更詳細點也就是:
f ( x ) = f ( p ) + J f ( p ) ( x − p ) + o ( ‖ x − p ‖ ) {\displaystyle \mathbf {f} (\mathbf {x} )=\mathbf {f} (\mathbf {p} )+\mathbf {J} _{\mathbf {f} }(\mathbf {p} )(\mathbf {x} -\mathbf {p} )+o(\|\mathbf {x} -\mathbf {p} \|)} 其中,o 代表小o符號 ,‖x − p ‖ 為 x 與 p 之間的距離。
例子 编辑
例一 编辑 由球坐标系 到直角坐标系的转化由 F : ℝ+ × [0, π ) × [0, 2π ) → ℝ3 函数给出,其分量為:
x = r sin θ cos φ ; y = r sin θ sin φ ; z = r cos θ {\displaystyle {\begin{aligned}x&=r\sin \theta \cos \varphi ;\\y&=r\sin \theta \sin \varphi ;\\z&=r\cos \theta \end{aligned}}} 此坐标变换的雅可比矩阵是
J F ( r , θ , φ ) = [ ∂ x ∂ r ∂ x ∂ θ ∂ x ∂ φ ∂ y ∂ r ∂ y ∂ θ ∂ y ∂ φ ∂ z ∂ r ∂ z ∂ θ ∂ z ∂ φ ] = [ sin θ cos φ r cos θ cos φ − r sin θ sin φ sin θ sin φ r cos θ sin φ r sin θ cos φ cos θ − r sin θ 0 ] {\displaystyle \mathbf {J} _{\mathbf {F} }(r,\theta ,\varphi )={\begin{bmatrix}{\dfrac {\partial x}{\partial r}}&{\dfrac {\partial x}{\partial \theta }}&{\dfrac {\partial x}{\partial \varphi }}\\[1em]{\dfrac {\partial y}{\partial r}}&{\dfrac {\partial y}{\partial \theta }}&{\dfrac {\partial y}{\partial \varphi }}\\[1em]{\dfrac {\partial z}{\partial r}}&{\dfrac {\partial z}{\partial \theta }}&{\dfrac {\partial z}{\partial \varphi }}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\sin \theta \cos \varphi &r\cos \theta \cos \varphi &-r\sin \theta \sin \varphi \\\sin \theta \sin \varphi &r\cos \theta \sin \varphi &r\sin \theta \cos \varphi \\\cos \theta &-r\sin \theta &0\end{bmatrix}}} 其雅可比行列式為 r 2 sin θ 。以體積元變換爲例,由於 dV = dx dy dz ,如果做變數變換,則其體積元(Volume element,dV ),會變成:dV = r 2 sin θ dr dθ dφ 。
例二 编辑 F : ℝ3 → ℝ4 ,其各分量為
y 1 = x 1 {\displaystyle y_{1}=x_{1}\,} y 2 = 5 x 3 {\displaystyle y_{2}=5x_{3}\,} y 3 = 4 x 2 2 − 2 x 3 {\displaystyle y_{3}=4x_{2}^{2}-2x_{3}\,} y 4 = x 3 sin x 1 {\displaystyle y_{4}=x_{3}\sin x_{1}\,} 其雅可比矩阵为:
J F ( x 1 , x 2 , x 3 ) = [ ∂ y 1 ∂ x 1 ∂ y 1 ∂ x 2 ∂ y 1 ∂ x 3 ∂ y 2 ∂ x 1 ∂ y 2 ∂ x 2 ∂ y 2 ∂ x 3 ∂ y 3 ∂ x 1 ∂ y 3 ∂ x 2 ∂ y 3 ∂ x 3 ∂ y 4 ∂ x 1 ∂ y 4 ∂ x 2 ∂ y 4 ∂ x 3 ] = [ 1 0 0 0 0 5 0 8 x 2 − 2 x 3 cos x 1 0 sin x 1 ] {\displaystyle J_{F}(x_{1},x_{2},x_{3})={\begin{bmatrix}{\frac {\partial y_{1}}{\partial x_{1}}}&{\frac {\partial y_{1}}{\partial x_{2}}}&{\frac {\partial y_{1}}{\partial x_{3}}}\\[3pt]{\frac {\partial y_{2}}{\partial x_{1}}}&{\frac {\partial y_{2}}{\partial x_{2}}}&{\frac {\partial y_{2}}{\partial x_{3}}}\\[3pt]{\frac {\partial y_{3}}{\partial x_{1}}}&{\frac {\partial y_{3}}{\partial x_{2}}}&{\frac {\partial y_{3}}{\partial x_{3}}}\\[3pt]{\frac {\partial y_{4}}{\partial x_{1}}}&{\frac {\partial y_{4}}{\partial x_{2}}}&{\frac {\partial y_{4}}{\partial x_{3}}}\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&0&0\\0&0&5\\0&8x_{2}&-2\\x_{3}\cos x_{1}&0&\sin x_{1}\end{bmatrix}}} 此例子说明雅可比矩阵不一定为方阵。
在动力系统中 编辑 雅可比行列式 编辑 逆矩陣 编辑 参看 编辑 参考资料 编辑 ^ W., Weisstein, Eric. Jacobian . mathworld.wolfram.com. [2 May 2018] . (原始内容存档 于3 November 2017). 外部链接 编辑