换元积分法

设${\displaystyle f(x)\ }$ 为可积函数，${\displaystyle g=g(x)\ }$ 为连续可导函数，则有：

${\displaystyle \int _{\alpha }^{\beta }f(g)g'\mathrm {d} x=\int _{g(\alpha )}^{g(\beta )}f(g)\mathrm {d} g}$

第一类换元法的基本思想是配凑的思想。

设${\displaystyle f(x)\ }$ 为可积函数，${\displaystyle x=x(g)\ }$ 为连续可导函数，则有：

${\displaystyle \int _{\alpha }^{\beta }f(x)\mathrm {d} x=\int _{x^{-1}(\alpha )}^{x^{-1}(\beta )}f(x(g))x'\mathrm {d} g}$

在遇到类似${\displaystyle {\sqrt {x^{2}-a^{2}}}}$ 、${\displaystyle {\sqrt {x^{2}+a^{2}}}}$ 和${\displaystyle {\sqrt {a^{2}-x^{2}}}}$ 的式子时，通常采取分别令${\displaystyle x=\pm a\sec t}$ 、${\displaystyle x=\pm a\tan t}$ 或${\displaystyle x=\pm a\sin t}$ 进行换元^[1]，得到关于${\displaystyle t}$ 的一个原函数。如果要计算不定积分，则再由${\displaystyle x}$ 与${\displaystyle t}$ 的关系还原即可；如果要计算定积分，只需在变换后的积分限${\displaystyle \alpha }$ 和${\displaystyle \beta }$ 下计算相应的定积分即可。

计算积分${\displaystyle \int _{0}^{2}x\cos(x^{2}+1)\,dx}$ 。

${\displaystyle {\begin{alignedat}{2}d\left(x^{2}+1\right)=2x\,dx&\iff dx={\frac {d\left(x^{2}+1\right)}{2x}}\\\therefore \int _{0}^{2}x\cos(x^{2}+1)\,dx&={\frac {\int _{0}^{2}2x\cos(x^{2}+1)\,dx}{2}}\\&={\frac {\int _{1}^{5}\cos(x^{2}+1)\,d\left(x^{2}+1\right)}{2}}\\&={\frac {\sin 5-\sin 1}{2}}\\\end{alignedat}}}$

其中 ${\displaystyle dx}$ 换元为 ${\displaystyle d\left(x^{2}+1\right)}$ 后，${\displaystyle \int _{0}^{2}}$ 亦变为 ${\displaystyle \int _{1}^{5}}$ ，是因为其形式为黎曼－斯蒂尔杰斯积分，但在黎曼－斯蒂尔杰斯积分中变数的取值范围应该还是 x 的取值范围，而不是 g(x) 的取值范围。

• 分部积分法