在数学分析 中,隐函数定理 是一個用來回答下面的問題的工具:以隐函数 表示的多變量函數,這函數的變量在局部上是否存在显式的关系?隐函数定理说明,对于一个由关系 f (x , y )=0 表示的隐函数,如果它在某一点的偏微分 满足某些条件,则在该点有鄰域 使得在該鄰域內 y 可以表示成关于 x 的函数:
y = h ( x ) {\displaystyle y=h(x)} 这样就把隐函数关系变成了常见的函数 关系。
舉一個簡單例子:假設兩個變量 x , y 滿足隱函數 x 2 + y 2 − 1 = 0 ,此隱函數代表了平面上的單位圓,任取單位圓中的一點,那是否存在包含該點的鄰域 跟定義在鄰域裡的顯函數 y =h (x ) 去(局部的)描述這單位圓的圖形?
答案是:除了(-1,0) 跟 (1,0 ) 兩點外,其他點局部上都有 y =h (x ) 的顯函數表達式。理由請看下面的隱函數定理。
例子 编辑
讓函数 f ( x , y ) = x 2 + y 2 {\displaystyle f(x,y)=x^{2}+y^{2}} ,則单位圆就可以写成满足方程式 f ( x , y ) − 1 = 0 {\displaystyle f(x,y)-1=0} 的点的集合。在圆上的点A附近,y 可以表示成 x 的函数: y ( x ) = 1 − x 2 {\displaystyle y(x)={\sqrt {1-x^{2}}}} ,但點B就不行(因為在點B附近,一個 x 會對應到兩個 y 的值)。 有函數 f ( x , y ) = x 2 + y 2 {\displaystyle f(x,y)=x^{2}+y^{2}} ,那么方程式 f ( x , y ) − 1 = 0 {\displaystyle f(x,y)-1=0} 的所有解的集合构成平面上的单位圆 。圆上的点整體上是无法表示成單變數函數 y = h ( x ) {\displaystyle y=h(x)} 的形式的,因为每个 x ∈ ( − 1 , 1 ) , {\displaystyle x\in (-1,1),} 都有两个 y {\displaystyle y} 的值与之对应,即 ± 1 − x 2 {\displaystyle \pm {\sqrt {1-x^{2}}}} 。
然而在某些點附近,局部 地用 x {\displaystyle x} 來表示 y {\displaystyle y} 是可能的。比如给定圆上一点 ( x , y ) {\displaystyle (x,y)} ,如果 y > 0 {\displaystyle y>0} ,也就是说如果只選取圓的上半部分的话,在这一点附近 y {\displaystyle y} 可以写成关于 x {\displaystyle x} 的函数: y = 1 − x 2 {\displaystyle y={\sqrt {1-x^{2}}}} 。如果 y < 0 {\displaystyle y<0} ,在圓的下半部分 y {\displaystyle y} 也可以写成关于 x {\displaystyle x} 的函数: y = − 1 − x 2 {\displaystyle y=-{\sqrt {1-x^{2}}}} 。
但是,在点 ( ± 1 , 0 ) {\displaystyle (\pm 1,0)} 的附近, y {\displaystyle y} 无法写成关于 x {\displaystyle x} 的函数,因为這些點的每一个邻域中都包含了上半圆和下半圆的点,也就是說对于附近的每一个 x {\displaystyle x} ,都有两个 y {\displaystyle y} 的值与之对应,這種情況下 y {\displaystyle y} 無法寫成 x {\displaystyle x} 的函數。
定理的叙述:欧几里得空间的情况 编辑
设 f : R n+m → R m 为一个连续可微 函数。这里R n+m 被看作是两个空间的直积 : R n ×R m ,于是 R n+m 中的一个元素写成 (x ,y ) = (x1 , ..., xn , y1 , ..., ym ) 的形式。 我們的目標是找到一個函數 h : R n → R m ,讓這函數的圖形(graph of a function), (x , h (x )) , 局部上恰好等於集合{ (x , y ) | f (x ,y ) = 0 },當然這目標不見得一定可以達成,接下來我們會看需要哪些條件來保證函數 h 的局部存在。
固定一点(a ,b ) = (a1 , ..., an , b1 , ..., bm ) 使得 f (a , b ) = 0 ,我們希望在點 (a ,b ) 的附近找到一個 y 关于 x 的函数 h ,严格来说,就是说存在 a 的鄰域 U ⊆ R n 和 b 的邻域 V ⊆ R m 以及函數:h : U → V ,使得 h 的函數的圖形 (x , h (x )) 剛好等於 U × V 中 f (x ,y ) = 0 的集合,也就是說:
{ ( x , h ( x ) ) ∣ x ∈ U } = { ( x , y ) ∈ U × V ∣ f ( x , y ) = 0 } {\displaystyle \{(\mathbf {x} ,h(\mathbf {x} ))\mid \mathbf {x} \in U\}=\{(\mathbf {x} ,\mathbf {y} )\in U\times V\mid f(\mathbf {x} ,\mathbf {y} )=\mathbf {0} \}} 。要保證这样的函数 h 存在,函数 f 的雅可比矩阵 要满足某些性質。对于给定的一点 (a ,b ) ,f 的雅可比矩阵 写作:
( D f ) ( a , b ) = [ ∂ f 1 ∂ x 1 ( a , b ) ⋯ ∂ f 1 ∂ x n ( a , b ) ⋮ ⋱ ⋮ ∂ f m ∂ x 1 ( a , b ) ⋯ ∂ f m ∂ x n ( a , b ) | ∂ f 1 ∂ y 1 ( a , b ) ⋯ ∂ f 1 ∂ y m ( a , b ) ⋮ ⋱ ⋮ ∂ f m ∂ y 1 ( a , b ) ⋯ ∂ f m ∂ y m ( a , b ) ] = [ X | Y ] {\displaystyle (Df)(\mathbf {a} ,\mathbf {b} )=\left[{\begin{matrix}{\frac {\partial f_{1}}{\partial x_{1}}}(\mathbf {a} ,\mathbf {b} )&\cdots &{\frac {\partial f_{1}}{\partial x_{n}}}(\mathbf {a} ,\mathbf {b} )\\\vdots &\ddots &\vdots \\{\frac {\partial f_{m}}{\partial x_{1}}}(\mathbf {a} ,\mathbf {b} )&\cdots &{\frac {\partial f_{m}}{\partial x_{n}}}(\mathbf {a} ,\mathbf {b} )\end{matrix}}\right|\left.{\begin{matrix}{\frac {\partial f_{1}}{\partial y_{1}}}(\mathbf {a} ,\mathbf {b} )&\cdots &{\frac {\partial f_{1}}{\partial y_{m}}}(\mathbf {a} ,\mathbf {b} )\\\vdots &\ddots &\vdots \\{\frac {\partial f_{m}}{\partial y_{1}}}(\mathbf {a} ,\mathbf {b} )&\cdots &{\frac {\partial f_{m}}{\partial y_{m}}}(\mathbf {a} ,\mathbf {b} )\\\end{matrix}}\right]=[X|Y]} 其中的矩阵 X {\displaystyle X} 是函數 f 关于變數 x 的偏微分,而矩陣 Y {\displaystyle Y} 是 f 关于變數 y 的偏微分。隐函数定理说明了:如果 Y {\displaystyle Y} 是一个可逆 矩阵的话,那么满足前面性质的鄰域 U 、V 和函数 h (x ) 就会存在。正式的敘述就是:
设
f : R n+m → R m 为
连续可微 函数,讓
R n+m 中的坐标记为
(x , y ) ,
(x , y ) = (x1 , ..., xn , y1 , ..., ym ) 。给定一点
(a1 , ..., an , b1 , ..., bm ) = (a ,b ) 使得
f (a ,b )=0 (
0 ∈ R m ,是個零向量)。如果
m ×m 矩陣
[(∂fi / ∂yj )(a , b ) 是可逆矩阵的话(此矩陣即上面的矩陣
Y {\displaystyle Y} ),那么存在
a 的邻域
U ⊆ R n 、
b 的邻域
V ⊆ R m 以及唯一的连续可微函数
h :U → V ,使得
h ( a ) = b {\displaystyle h(\mathbf {a} )=\mathbf {b} } 且
f ( x , h ( x ) ) = 0 , {\displaystyle f(\mathbf {x} ,h(\mathbf {x} ))=\mathbf {0} ,\,\,} 對所有的 x ∈ U {\displaystyle \mathbf {x} \in U} 。一般情形 编辑
设 E 1 {\displaystyle E_{1}} 、 E 2 {\displaystyle E_{2}} 和 F {\displaystyle F} 是三个巴拿赫空间,而 U {\displaystyle U} 、 V {\displaystyle V} 分别是 E 1 {\displaystyle E_{1}} 、 E 2 {\displaystyle E_{2}} 上的两个开集 。设函数:
f : U × V → F {\displaystyle f:U\times V\rightarrow F} 是一個 k ( k ≥ 1 ) {\displaystyle k~(k\geq 1)} 階可微函數 (見Fréchet導數 ),并且对于 E 1 × E 2 {\displaystyle E_{1}\times E_{2}} 中的一点 ( x 0 , y 0 ) {\displaystyle (x_{0},y_{0})} ,满足:
f ( x 0 , y 0 ) = 0 {\displaystyle f(x_{0},y_{0})=0} 映射 y ↦ ( D f ( x 0 , y 0 ) ) ( 0 , y ) {\displaystyle y\mapsto (Df(x_{0},y_{0}))(0,y)} 是一個從 E 2 {\displaystyle E_{2}} 到 F {\displaystyle F} 的同構 那么有如下结论:
存在 x 0 {\displaystyle x_{0}} 的邻域 U 0 ⊂ U {\displaystyle U_{0}\subset U} 、 y 0 {\displaystyle y_{0}} 的邻域 V 0 ⊂ V {\displaystyle V_{0}\subset V} ,以及 k {\displaystyle k} 階Fréchet可微函數 φ : U 0 → V 0 {\displaystyle \varphi :U_{0}\rightarrow V_{0}} ,使得: 对任意 ( x , y ) ∈ U 0 × V 0 {\displaystyle (x,y)\in U_{0}\times V_{0}} ,只要 f ( x , y ) = 0 {\displaystyle f(x,y)=0} ,就有 y = φ ( x ) {\displaystyle y=\varphi (x)} 。 参见 编辑 参考来源 编辑
Jittorntrum, K. An Implicit Function Theorem. Journal of Optimization Theory and Applications. 1978, 25 (4). doi:10.1007/BF00933522 . Kumagai, S. An implicit function theorem: Comment. Journal of Optimization Theory and Applications. 1980, 31 (2). doi:10.1007/BF00934117 .