阿贝尔定理
阿貝爾定理是冪級數的一個重要結果。
定理编辑
設 為一冪級數,其收斂半徑為R。若对收敛圆(模长为 R 的复数的集合)上的某个复数 ,级数 收斂,則有: 。
若 收斂,則結果顯然成立,無須引用這个定理。
证明编辑
设级数 收斂,下面证明:
令 ,则幂级数 的收敛半径为1,并且只需证明
令 ,则可化归到 ,于是以下只需要考虑 的情况。
设 ,那么 。由幂级数性质可知 的收敛半径也是1。于是
- (因为 )
对于任意的 ,固定 使得
- ,
再固定 使得
- ,
于是对 ,
这就证明了
于是阿贝尔定理得证。
从证明中可以看出,对于一个固定的正数 ,设区域:
那么只要 在 趋近于1,就有阿贝尔定理成立。
例子和应用编辑
阿贝尔定理的一个有用应用是计算已知收敛级数。方法是通过在级数每项后加上 项,将问题转换为幂级数求和,最后再计算 x 趋于 1 时幂级数的极限。由阿贝尔定理可知,这个极限就是原级数的和。
- 为计算收敛级数 ,設 。于是有
- 为计算收敛级数 ,設 。因此有
参考来源编辑
- (法文)Srishti.D.Chatterji. Cours d'Analyse. Editions polytechniques et universitaires romandes. 1997.
- (法文)Alekseev. Theorème D'Abel: Un Cours D'Arnold. Cassini. 2007.
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