门格海绵
门格海绵(英語:Menger sponge、英語:Menger universal curve)是分形的一种。它是一个通用曲线,因为它的拓扑维数为一,且任何其它曲线或图都与门格海绵的某个子集同胚。它有时称为门格-谢尔宾斯基海绵或谢尔宾斯基海绵。它是康托尔集和谢尔宾斯基地毯在三维空间的推广。它首先由奥地利数学家卡尔·门格在1926年描述,当时他正在研究拓扑维数的概念。
结构编辑
门格海绵的结构可以用以下方法形象化:
- 从一个正方体开始。(第一张图像)
- 把正方体的每一个面分成9个正方形。这将把正方体分成27个小正方体,像魔方一样。
- 把每一面的中间的正方体去掉,把最中心的正方体也去掉,留下20个正方体(第二张图像)。
- 把每一个留下的小正方体都重复第1-3个步骤。
把以上的步骤重复无穷多次以后,得到的图形就是门格海绵。
性质编辑
门格海绵的每一个面都是谢尔宾斯基地毯;同时,门格海绵与原先立体的任何一条对角线的交集都是康托尔集。
门格海绵是一个闭集;由于它也是有界的,根据海涅-博雷尔定理,它是一个紧集。更进一步,门格海绵是不可数集,且具有勒贝格测度0。
门格海绵的拓扑维数是一,与任何曲线一样。门格在1926年证明了,它是一个通用曲线,就是说任何一维曲线都与门格海绵的一个子集同胚,这里的曲线是指任何勒贝格覆盖维数为一的紧度量空间。
门格海绵的豪斯多夫维为(ln 20) / (ln 3)(大约2.726833)。
门格海绵的表面积无穷大。
正式定义编辑
正式地,门格海绵可以定义如下:
其中M0是单位立方体,且:
- 且i、j和k中最多只有一个等于1。
参见编辑
参考文献编辑
- Karl Menger, General Spaces and Cartesian Spaces, (1926) Communications to the Amsterdam Academy of Sciences. English translation reprinted in Classics on Fractals, Gerald A.Edgar, editor, Addison-Wesley (1993) ISBN 0-201-58701-7
- Karl Menger, Dimensionstheorie, (1928) B.G Teubner Publishers, Leipzig.
外部链接编辑
- 分形多面体 (VRML)和互动Java模型
- Menger sponge at Wolfram MathWorld (页面存档备份,存于互联网档案馆)
- The 'Business Card Menger Sponge' by Dr. Jeannine Mosely – an online exhibit about this giant origami fractal at the Institute For Figuring (页面存档备份,存于互联网档案馆)
- An interactive Menger sponge (页面存档备份,存于互联网档案馆)
- Interactive Java models
- Puzzle Hunt (页面存档备份,存于互联网档案馆) — Video explaining Zeno's paradoxes using Menger–Sierpinski sponge
- Menger Sponge Animations (页面存档备份,存于互联网档案馆) — Menger sponge animations up to level 9, discussion of optimization for 3d.
- Menger sphere (页面存档备份,存于互联网档案馆), rendered in SunFlow
- Post-It Menger Sponge (页面存档备份,存于互联网档案馆) – a level-3 Menger sponge being built from Post-its
- The Mystery of the Menger Sponge. (页面存档备份,存于互联网档案馆) Sliced diagonally to reveal stars
- Number of cards required to build a Menger sponge of level n in origami (页面存档备份,存于互联网档案馆)
- Woolly Thoughts Level 2 Menger Sponge (页面存档备份,存于互联网档案馆) by two "Mathekniticians"
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