边值问题

边值问题類似初值問題，边值问题的條件是在區域的邊界上，而初值問題的條件都是在獨立變數及其導數在某一特定值時的數值（一般是定義域的下限，所以稱為初值問題）。

例如獨立變數是時間，定義域為[0,1]，边值问题的條件會是${\displaystyle y(t)}$ 在${\displaystyle t=0}$ 及${\displaystyle t=1}$ 時的數值，而初值问题的條件會是${\displaystyle t=0}$ 時的${\displaystyle y(t)}$ 及${\displaystyle y'(t)}$ 之值。

若鐵棒的一端為絕對零度，另一端溫度為水的凝固點，要找到鐵棒溫度隨位置的變化即為一個边值问题。

若問題和時間和空間都有關，边界條件需為某一個特定點下所有時間對應的值，以及某一個特定時間時所有位置對應的值。

以下是一個边值问题的例子

${\displaystyle y''(x)+y(x)=0\,}$

要求解滿足以下邊界條件的函數${\displaystyle y(x)}$

${\displaystyle y(0)=0,\ y(\pi /2)=2.}$

若沒有邊界條件，以上微分方程的通解是

${\displaystyle y(x)=A\sin(x)+B\cos(x).\,}$

根據邊界條件${\displaystyle y(0)=0}$ ，可得

${\displaystyle 0=A\cdot 0+B\cdot 1}$

可以得到${\displaystyle B=0}$ 的結論。根據邊界條件${\displaystyle y(\pi /2)=2}$ ，可得

${\displaystyle 2=A\cdot 1}$

因此${\displaystyle A=2}$ 。因此可以找到滿足上述邊界條件的唯一解，即為

${\displaystyle y(x)=2\sin(x).\,}$

根据条件的形式，边值条件分以下三类^[1]：

• 第一类边值条件：也稱為狄利克雷边界条件，直接描述物理系统边界上的物理量，例如振动的弦两端与平衡位置的距离；
• 第二类边值条件：也稱為诺伊曼边界条件，描述物理系统边界上物理量垂直邊界的导数的情况，例如导热细杆端点的热流；
• 第三类边值条件：物理系统边界上物理量与垂直邊界导数的线性组合，例如，细杆端点的自由冷却，温度、热流均不确定，但是二者的关系确定，即可列出二者线性组合而成的边值条件。

边值条件也可以根據边值问题對應的微分算子來分類：若是使用椭圆算子，則問題為椭圆边值问题；使用雙曲線算子，則問題為雙曲線边值问题。依微分算子還可以將問題再細分為線性及非線性等。