递归可枚举集合
递归可枚举集合(英語:Recursively enumerable set)是可计算性理论或更狭义的递归论中的一个概念。可数集合S被称为是递归可枚举、计算可枚举的、半可判定的或可证明的,如果
- 存在一个算法,只有当输入是S中的元素时,算法才会中止。
或者等价的说,
- 存在一个算法,可以将S中的成员枚举出来。也就是说该算法的输出就是 S 的成员列表: s1, s2, s3, ... 如果需要它可以永远运行下去。
包含所有可递归枚举集合的复杂性类是 RE。
共同的编程意义会暗示出如何转换一种算法到等价的另一种算法。第一种情况说明了为什么有时说半可判定的,而第二种情况说明了为什么叫计算可枚举的。
定义编辑
换句话说, 是 的域:
(注意这是偏函数的域的两种可能意义之一,是在递归论中所偏好的定义域。参见在偏函数中的讨论。)
集合 被称为 co-递归可枚举的或 co-r.e.,如果 的补集是递归可枚举的。
等价定义编辑
可数集合 被叫做递归可枚举的,如果存在着一个偏可计算函数 ,使得 是 的值域:
被称为枚举函数,因为它关联上一个枚举上的次序(rank)到 的每个元素。
注解编辑
因为邱奇-图灵论题声称可计算函数被图灵机和其他计算模型等价的定义,我们陈述定义为
- 可数集合 被称为递归可枚举的,如果有一个图灵机,在给定 的一个元素作为输入的时候,总是停机,并在给定的输入不属于 的时候永不停机。
这也是递归可枚举集合的常见定义。
例子编辑
性质编辑
如果 A 和 B 是递归可枚举集合,则 A ∩ B、A ∪ B 和 A × B 是递归可枚举集合。集合 A 是递归集合,当且仅当 A 和 A 补集二者是递归可枚举集合。递归可枚举集合一个可计算函数下的原像是递归可枚举集合。
引用编辑
- Rogers, H. The Theory of Recursive Functions and Effective Computability, MIT Press. ISBN 0-262-68052-1; ISBN 0-07-053522-1.
- Soare, R. Recursively enumerable sets and degrees. Perspectives in Mathematical Logic. Springer-Verlag, Berlin, 1987. ISBN 3-540-15299-7.
- Soare, Robert I. Recursively enumerable sets and degrees. Bull. Amer. Math. Soc. 84 (1978), no. 6, 1149–1181.
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