超限归纳法
超限归纳编辑
假设只要对于所有的 , 为真,则 也为真。那么超限归纳告诉我们 对于所有序数为真。
就是说,如果 为真只要 对于所有 为真,则 对于所有 为真。或者更实用的说:若要证明所有序数 都符合性质 ,你可以假定它对于所有更小的 已经是成立的。
通常证明被分为三种情况:
- 零情况: 证明 为真。
- 后继情况: 证明对于任何后继序数 , 得出自 (如果需要的话,也假定对于所有 有 )。
- 极限情况: 证明对于任何极限序数 , 得出自 [ 对于所有 ]。
留意,以上三種情況(證明方法)都是相同的,只是所考虑的序数类型不同。正式來說不用分开考慮它们,但在实践時,因為它们的证明過程通常相差很大,所以需要分别表述。在一些情況下,「零情況」會被視為一種「極限情況」,因此可以使用極限序數來證明。
超限递归编辑
超限递归是一種构造或定义某种對象的方法,它與超限归纳的概念密切相關。例如,可以定義以序數為下標的集合序列 Aα ,只要指定三个事項:
- 是什么
- 如何确定 自 (又或者是從 到 的部分)
- 对于极限序数 ,如何确定 自 的对于 的序列。
更形式的说,我们陈述超限递归定理如下。给定函数类 , , ,存在一个唯一的超限序列 带有 ( 是所有序数的真类),使得
- ,对于所有
- ,对于所有极限序數 。這裡的 是指 在 上的限制。
注意我们要求 , , 的定义域足够广阔来使上述性质有意义。所以满足这些性质的序列的唯一性可以使用超限归纳证明。
更一般的说,你可以在任何良基关系 上通过超限递归定义對象。( 甚至不需要是集合;它可以是真类,只要它是类似集合的关系便可,也就是说:对于任何 ,使得 的所有 的搜集必定是集合。)
同选择公理的联系编辑
有一个常见的误解是超限归纳法或超限递归法要求选择公理。其實超限归纳可以应用于任何良序集合。但是常见的情况是使用选择公理来良序排序一个集合,使其適用超限归纳法。
参见编辑
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