證明黎曼ζ函數的歐拉乘積公式
歐拉在他的論文《無窮級數的一些檢視》(Various Observations about Infinite Series)中證明黎曼ζ函數的歐拉乘積公式,並於1737年由當時的科學院出版。[1][2]
公式编辑
而左方等於黎曼ζ函數:
右方的乘積則擴展至所有質數p:
證明编辑
證明過程只需用到簡單的代數概念,這亦是歐拉當初使用的證明方法。
- (1)
- (2)
從(1)式減去(2)式:
- (3)
重複上面步驟:
- (4)
從(3)式減去(4)式,可得:
這次2和3的所有倍數項都被減去。可見右方的的倍數項可被篩去,不斷重複以上步驟可得:
左右兩方除以所有括號項,我們得到:
最後,公式可寫成質數的無窮乘積:
證畢。
為了使證明更嚴密,我們只需注意到當 ,已篩的右方項趨向1,並遵從狄利克雷級數的收歛性。
特別情形 编辑
從以上公式可推導出 ζ(1) 的有趣結果。
可以寫成,
又知:
所以
參見编辑
參考資料编辑
- ^ O'Connor, J.J. and Robertson, E.F. A history of calculus. University of St Andrews. February 1996 [2007-08-07]. (原始内容存档于2007-07-15).
- ^ John Derbyshire (2003), chapter 7, "The Golden Key, and an Improved Prime Number Theorem"
- John Derbyshire, Prime Obsession: Bernhard Riemann and The Greatest Unsolved Problem in Mathematics, Joseph Henry Press, 2003, ISBN 978-0-309-08549-6
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